Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda bmabs » 08/11/2019, 14:17

Più che di un esercizio in sé vorrei capire una cosa riguardo la logica che sottende la verifica del limite tramite la definizione con epsilon e delta vari.

Per la definizione di limite

$AA epsilon > 0, EE delta_epsilon >0 t.c. \ AA x in X, 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon$

tutto bene, ora mi aspetto di dover sfruttare questo e di solito infatti si parte dalla condizione di aver scelto un epsilon a caso

Imposto la $|f(x)-l|<\epsilon$

e dimostro con vari passaggio che $|x-x_0|<g(\epsilon)=\delta$ cioè trovo una certa funzione di epsilon che sarà la mia delta cercata.

Quello che onn mi convince però è che io parto da: $|f(x)-l|<\epsilon$ però io parto dalla implicazione, cioè quello è il risultato che SE esiste delta allora vale quella disuguaglianza con valore assoluto con il valore del limite. A me sembra che verifico questo fatto:

Se e esiste epsilon che verifica questo: $|f(x)-l|<\epsilon$ ALLORA esiste il delta. Ma non è mica vero che se A=>B per essere vera non devo verificare B (nel nostro caso $|f(x)-l|<\epsilon$) => A (nel nostro caso A è: che esiste delta)

Non so se sono riuscito a spiegarmi molto nel caso provo a riscrivere con altre parole.
Ultima modifica di bmabs il 09/11/2019, 10:39, modificato 1 volta in totale.
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Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda Sergio » 08/11/2019, 22:23

Premesso che si fa un po' fatica a capire quello che vuoi dire, mi pare che il succo sia: imposto $B$ e poi risalgo ad $A$, mentre invece dovrei partire da $A$ per dimostrare che ne segue $B$. Dove \(A=\lvert x-x_0\rvert<\delta\) e \(B=\lvert f(x)-l\rvert<\epsilon\).
Mi sembra che ti sei perso tutta la sfilata dei quantificatori, che recita: per ogni $\epsilon>0$, esiste un $\delta_\epsilon>0$ tale che ecc. ecc.
Dal momento che un $\delta_\epsilon$ deve esistere per ogni $\epsilon$, come prima cosa devi trovare un $\delta_epsilon$ che valga per ogni $\epsilon$, poi, solo poi, puoi dimostrare che \(A\Rightarrow B\). La dimostrazione è però implicita, perché contenuta nel procedimento usato per trovare \(\delta_\epsilon\).
Esempio concreto (da Pagani-Salsa): \(\lim_{x\to 0}\cos x=1\)
Si ha \(1-\cos x=2(\sin x/2)^2\) (formule di bisezione). Inoltre, per \(x>0\) (quello che succede quando \(x=0\) non ci interessa), \(2(\sin x/2)^2<2x^2/4=x^2/2\) quindi \(\lvert\cos x-1\rvert<x^2/2\).
A questo punto poni \(\epsilon=x^2/2\) (NB: \(\epsilon\) è ancora un qualsiasi numero reale strettamente positivo, ricorda che avevamo escluso \(x=0\)) e trovi il tuo \(\delta_\epsilon=\sqrt{2\epsilon}\).
Ora devi dimostrare che \(\lvert x-0\rvert=\lvert x\rvert<\sqrt{2\epsilon}\) implica \(\lvert\cos x-1\rvert<\epsilon\).
In realtà, però, sai già che \(1-\cos x=\lvert\cos x-1\rvert<\epsilon\) se \(\lvert x\rvert<\sqrt{2\epsilon}\).
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Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda gugo82 » 08/11/2019, 23:34

Il vero problema è che non hai capito “operativamente” cosa significa la definizione di limite.
Quindi, cerca di raccontarmi cosa significa $ AA 0 epsilon > 0, EE delta_epsilon >0 t.c. \ AA x in X, 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon $.
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Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda bmabs » 09/11/2019, 10:56

Proverò a rispondere ad entrambi, ringraziandovi, in principio, per essere intervenuti.

Operativamente pensavo che la definizione volesse dire: prendo un epsilon di qualunque tipo nei reali (che sarà il mio vincolo per un intorno dell'immagine della funzione) e ti mostro che posso trovare sempre un delta che ne dipenda (vincolo sulle ascisse come intorno), poi quando vado a prendere una x (qualunque) in questo intorno che non sia pari a x0 ti mostro che questo IMPLICA il trovare un "raggio" minore del raggio dell'intono che era epsilon.

Il fatto che quell'ultima disuguaglianza con valore assoluto è implicata da tutto il resto. Per prendere un epsilon qualunque io mostro che \(\lvert\cos x-1\rvert<x^2/2=\epsilon\), però questa mi pare l'implicazione (cioè a me sembra a tuti gli effetti di partire dal fondo e trovarmi già UN epsilon che faccia funzionare la disuguaglianza e non un epsilon qualunque -perdo in generalità-).
Fatto questo procedo trovandomi un delta, ok perfetto qui ci sono (e lo trovo)!
Ora non mi viene da stupirmi che la definizione funzioni, beh grazie mi son preso UN epsilon giàbello preparato per cui funziona l'implicazione.

:)

Edito:

ok credo che il punto fondamentalesia il NB di sergio, in effetti x^2/2 è ancora ogni numero reale (epsilon, cioè per ogni).

Capito il dubbio (ovvero che quell'epsilon di sergio è comunque generico -devo farici davvero l'abitudine perché fatico un po' a vederlo, ammetto-)

Sarebbe formalmente corretto anche procedere così? Non so perchéma operativamente mi aiuta impostarmi già prima il vincolo epsilon:

$|cosx-1|=|1-cosx|<x^2/2<\epsilon$

da cui: $x^2/2<\epsilon=>|x|<\sqrt(2\epsilon)$

è proprio l'intorno sulle ascisse che cercavo! !uindi: ho mostrato che qualunque sia preso epsilon il delta è proprio quella radice quadrata.

Insomma anziché porre $\epsilon=x^2/2$ vado a minorare $x^2/2$ con epsilon scoprendo che ho trovato proprio il delta che verifica la definizione di limite. E' simile ma un po' diverso da quello di sergio.
Il punto è che partendo da $|cosx-1|<\epsilon$, come faccio io qui sopra, mi sembra di prendere solo alcuni epsilon e non tutti (in particolare prendo gli epsilon che fanno valere quella disuguaglianza). Eppure giungo allo stesso risultato di sergio. Arcano mistero che devo capire :smt012 , chissà cosa mi sfugge
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Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda Sergio » 09/11/2019, 12:39

Ok, all'inizio si fa fatica, ma prova a seguire per bene la definizione senza voli pindarici.
Per ogni \(\epsilon>0\), esiste almeno un \(\delta\) dipendente da \(\epsilon\) tale che...
bmabs ha scritto:anziché porre $\epsilon=x^2/2$ vado a minorare $x^2/2$ con epsilon

Non devi "minorare" proprio nulla! (volo pindarico).
Devi seguire pedissequamente la definizione. Devi semplicemente trovare un \(\delta\) che valga per qualsiasi \(\epsilon>0\) e che sia tale che \(\lvert x-0\rvert=\lvert x\rvert<\delta\Rightarrow\lvert \cos x-1\rvert<\epsilon\).
Quando puoi avere \(\lvert \cos x-1\rvert<\text{qualcosa}\)?
Una possibilità è \(\lvert \cos x-1\rvert<x^2/2\).
A questo punto:
bmabs ha scritto:$|cosx-1|=|1-cosx|<x^2/2<\epsilon$

Perché \(<\epsilon\)? Da dove salta fuori? (volo pindarico).
Poni invece \(\epsilon=x^2/2\) e hai così, molto semplicemente, quello a cui volevi arrivare: \(\lvert \cos x-1\rvert<\epsilon\).
Quasi, perché ti manca ancora il \(\delta\) dipendente da quell'\(\epsilon\) (un \(\epsilon\) che può essere qualsiasi, come qualsiasi può essere \(x\). Unica condizione: \(x\ne 0\) perché deve essere \(\epsilon>0\)).
Se \(\epsilon=x^2/2\), ovviamente \(\lvert x\rvert=\sqrt{2\epsilon}\).
E quanto deve essere \(\delta\) perché \(\lvert x\rvert<\delta\) implichi \(\lvert \cos x-1\rvert<\epsilon=x^2/2\)?
\(1-\cos x\) è una funzione periodica che può variare da \(0\) a \(2\). Ed è lo stesso per \(\lvert \cos x-1\rvert\).
La disuguaglianza da cui eravamo partiti, \(1-\cos x<x^2/2\), ti dice che, se \(x\) non è troppo grande (in pratica, se \(-\pi<x<\pi\), ma quello che interessa è quello che succede quando \(x\to 0\)), \(1-\cos x=\lvert \cos x-1\rvert\) diminuisce al diminuire di \(\lvert x\rvert\).
Quindi \(1-\cos x<x^2/2\) comporta che \(1-\cos x<\epsilon=x^2/2\) se \(\lvert x\rvert<\sqrt{2\epsilon}\).
Quindi \(\delta=\sqrt{2\epsilon}\).
Tutto qui.
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Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda bmabs » 09/11/2019, 13:24

Certo, in effetti il tuo procedimento mi è chiaro, tuttavia io avevo minorato con epsilon non tanto per mero volo pindarico personal,ma perché l'esercitatore svolge sempre gli esercizi in questo modo.

Faccio un esempio:

$lim(x->0) x^3-1=-1$

Ebbene pone proprio: $|x^3-1+1|<\epsilon$ e da questi fa discendere il delta ecc. Convieni con me che in tal modo in realtàscegli un epsilon "comodo",cioè tale che funzioni quella disuguaglianza:mi sembra un po' diverso dal tuo metodo che mi sembra più corretto formalmente parlando.Eppure come mostratoprima giungo allo stesso risultato tuo.
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Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda Sergio » 09/11/2019, 13:32

bmabs ha scritto:Ebbene pone proprio: $|x^3-1+1|<\epsilon$ e da questi fa discendere il delta ecc.

Questo non è "minorare", questo è cercare un \(\epsilon\) coerente con la definizione.
Anch'io, sopra, ho cercato un \(\epsilon\) tale che \(\lvert\cos x-1\rvert<\epsilon\).
Quando ho trovato \(x^2/2\), ho posto \(\epsilon=x^2/2\), non \(x^2/2<\epsilon\).

bmabs ha scritto:Eppure come mostratoprima giungo allo stesso risultato tuo.

Se cerchi un \(\epsilon>x^2/2\) dimostri che se \(\lvert\cos x-1\rvert<x^2/2\) allora è minore di qualsiasi altro numero che sia maggiore di \(x^2/2\). Utile?
Soprattutto, per trovare un numero \(\delta\) dipendente da un numero \(\epsilon\), non puoi usare l'insieme infinito di tutti gli \(\epsilon\) maggiori di \(x^2/2\). Ti serve un \(\epsilon\) ben definito.
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Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda bmabs » 09/11/2019, 14:37

Sergio ha scritto:Questo non è "minorare", questo è cercare un \(\epsilon\) coerente con la definizione.


Il fatto è che a me sembra di trovare un epsilon coerente con l'implicazione non con la definizione, mi spiego meglio: Per ogni epsilon che verifica la $|f(x)-l|\<\epsilon$ io riesco in effetti a trovare un delta. Nel tuo esempio specifico in effetti ho trovato $\epsilon=x^2/2$ che rappresenta OGNI reale (ma è un caso specifico, perché in realtà l'epsilon che trovo sia sempre un qualsiasi reale non riesco a vederlo da quella $|f(x)-l|\<\epsilon$).
Tuttavia impostando la $[...]=>|f(x)-l|\<\epsilon$ a me sembra di trovare ogni epsilon per cui vale l'implicazione ma non ogni epsilon nei reali.

Deve essere qualcoa di così semplice che non riesco nemmeno a far capire il problema. Ci ragiono ancora un po' su rileggendo le risposte che mi hai dato e di cui ti ringrazio molto:)
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Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda gugo82 » 09/11/2019, 17:34

bmabs ha scritto:Operativamente pensavo che la definizione volesse dire: prendo un $epsilon$ di qualunque tipo nei reali (che sarà il mio vincolo per un intorno dell'immagine della funzione) e ti mostro che posso trovare sempre un $delta$ che ne dipenda (vincolo sulle ascisse come intorno), poi quando vado a prendere una $x$ (qualunque) in questo intorno che non sia pari a $x_0$ ti mostro che questo IMPLICA il trovare un "raggio" minore del raggio dell'intono che era $epsilon$.

Sì, vabbè, queste sono chiacchiere… Ma che vuol dire la frase $ AA epsilon > 0, EE delta_epsilon >0 : \ AA x in X, 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon $?
"Concretamente" parlando, che devi fare?
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Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda bmabs » 10/11/2019, 20:13

Scusa, avevo capito spiegarlo in modo intuitivo.

Beh direi che devo trovare una funzione epsilon di x, da questa farne discendere una funzione delta (di epsilon).
Poiché delta è funzione di x, facendo variare la x nel dominio (sottoinsieme dei reali) vedo se verifica e sta nell'intorno, e SE ci sta, deve stare anche nell'intorno di raggio epsilon.
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