otta96 ha scritto:Forse non è proprio la sezione più azzeccata, ma da qualche parte dovevo pur metterla.
Se ho $RR^n$ con la norma euclidea e considero due sottospazi affini $V$ e $W$, posso sempre dire che la distanza tra tali sottospazi sia realizzata (ovvero esistono $x\inV$, $y\inW$ tali che $d(V,W)=d(x,y)$)?
Quello che è ovvio è che se sono paralleli oppure si intersecano la risposta è affermativa, quindi ci interessano solo casi in cui sono (generalizzando un termine che si usa per le rette) sghembi.
È chiaro inoltre che anche se uno dei due sottospazi è un solo punto la risposta è affermativa.
Qualcuno sa come trattare questo problema?
Poi mi interesserebbe capire in che modo di può generalizzare questo risultato a spazi normati, con ipotesi opportune (per esempio di sicuro i sottospazi devono essere chiusi).
In generale questi problemi possono essere difficili; vedi ad esempio questo libro
https://www.springer.com/gp/book/9783642648830Lo strumento da usare è SEMPRE la compattezza in qualche sua forma. Qui, siamo su \(\mathbb R^n\) e dobbiamo servirci della proprietà di compattezza locale; le palle chiuse \(\overline B_R\) sono compatte. La proprietà chiave da dimostrare è che, detti \(X\) e \(Y\) sottospazi affini e sghembi di \(\mathbb R^n\), e fissati \(x\in X\) e \(y\in Y\), esiste \(R>0\) tale che \(|x'-y'|\ge |x-y|\) per ogni \(x', y'\in \mathbb R^n\setminus B_R\). Intuitivamente sono sicuro che questo è vero, ed è qui che si usa in modo fondamentale la geometria del problema.
Una volta che questo è dimostrato, si conclude con un ragionamento standard: sia \((x_n, y_n)\in X\times Y\) una successione minimizzante, ovvero tale che \(|x_n-y_n|\to d(X, Y)\); per quanto detto sopra, tale successione è limitata e quindi ha una estratta convergente. Ma \(X\) e \(Y\) sono chiusi, e ciò conclude la dimostrazione.