Io non userei termini del tipo "reusable code" o "esportabili" (sarà perché sono temini informatici che non mi piacciono). Userei piutosto il termine di
pattern, più o meno ubiquamente presenti nelle teorie matematiche e nelle sue costruzioni. Si tratta di far risaltare analogie più o meno profonde in teorie od oggetti apparentemente diversi. Certe volte senti che non è importante che un oggetto sia "proprio quello", ma certe proprietà in si ritrovano con certe anologie in altre strutture. D'altronde, perché limitarsi a "proprio quell'oggetto"? Perché farlo se ho delle proprietà ricorrenti con altri oggetti? Nella teoria delle categorie molte volte si ha a che fare con etichette, nomi, su oggetti non so propriamente "cosa sono" in senso classico. Sugli oggetti di cui parlo mi interessano i pattern, sapere che un oggetto è proprio quello non mi interessa più. Ti faccio un esempio tra questi pattern di cui ti sto parlando. Do per scontato che tu sappia cosa sia una categoria (non è difficile comunque) con i suoi abitanti: oggetti, morfismi e composzioni. Lavoriamo dentro una categoria: un prodotto di due oggetti \(x\) e \(y\) è un oggetto chiamato \(p\) con associati due morfismi \(\pi_x \colon p \to x\) e \(\pi_y \colon p \to y\) con questa proprietà: per ogni oggetto \(z\) con due morfismi \(f \colon z \to x\) e \(g \colon z \to y\) esiste un unico morfismo \(h \colon z \to p\) per cui commuta
In questo caso, volendo soffermarsi troppo su "quali" oggetti si ha a che fare non ha senso (anche perché constateresti di star parlando di fuffa). Piuttosto consideri questa situazione come un pattern. Nella categoria degli insiemi, \(\mathbf{Set}\), il prodotto è il prodotto cartesiano; se vedi un poset (pensa a \(\mathbb R\) con l'ordine usuale \(\le\)) come una categoria, il prodotto di due oggetti è il minimo; se consideri \(\mathbb N\) con la relazione di divisibilità, il prodotto di due numeri naturali è il massimo comun divisore; ... indovina cos'è l'intersezione di due insiemi? (Prendi \(\wp(X)\) con l'intersezione definita sui sottoinsiemi di \(X\)).
Ovvio che cercare i pattern, ti porta anche a capire le distinzioni... Ma sono distinzioni profonde. Vedila così: la teroia delle categorie è un linguaggio.
Ovvio che la teoria delle categorie ha degli sviluppi e dei risultati suoi, non si limita soltanto a tirare fuori pattern anche tra cose strane.