Dubbi sui sottogruppi ciclici generati da x

[AlexanderSC]

Buongiorno,

Ho difficoltà a capire una dimostrazione su come, avendo t come periodo di x, implicherà che:

\( <x> = {{ 1, x, . . . , x^(t-1)} \) (Perdonate le tre graffe, ma se ne mettevo una sola in entrambi gli estremi, sparivano)

La dimostrazione dice:

"Quando \( o(x) = t \) , consideriamo un’arbitraria potenza \( x^h ∈ <x> \) e dividiamo h per t.
Sia h = t q + r, con 0 ≤ r ≤ t − 1.
Procedendo come nella proposizione precedente, si ottiene \( x^h = x^r \) .

Dunque x ⊆{ 1, x, x^2 , ... , x^(t−1) } e quindi (essendo l’inclusione opposta ovvia)

x = {1, x, x2, ... , x^(t−1)}."

Non capisco perchè \( x^h = x^r \) implica l'inclusione di \( <x> \) in {1, x, x^2, . . ., x^(t-1) } . . .

(Nel mio ragionamento non capisco soprattutto cosa centri x^r in tutto ciò).

Grazie per aver letto fino a qua :^)

[vict85]

Buongiorno,

Ho difficoltà a capire una dimostrazione su come, avendo \(t\) come periodo di \(x\), implicherà che:

\( \langle x\rangle = \{ 1, x, . . . , x^{t-1}\} \) (Perdonate le tre graffe, ma se ne mettevo una sola in entrambi gli estremi, sparivano)

La dimostrazione dice:

"Quando \( o(x) = t \) , consideriamo un’arbitraria potenza \( x^h \in \langle x\rangle \) e dividiamo \(h\) per \(t\).
Sia \(h = t q + r\), con \(0 \le r \le t − 1\).
Procedendo come nella proposizione precedente, si ottiene \( x^h = x^r \) .

Dunque \(\langle x\rangle \subseteq \{ 1, x, x^2 , \dotsc , x^{t−1} \}\) e quindi (essendo l’inclusione opposta ovvia)

\(\langle x\rangle = \{1, x, x^2, ... , x^{t−1}\}\)."

Non capisco perchè \( x^h = x^r \) implica l'inclusione di \( \langle x\rangle \) in \(\{1, x, x^2, \dotsc, x^{t-1} \}\) ...

(Nel mio ragionamento non capisco soprattutto cosa centri \(x^r\) in tutto ciò).

Grazie per aver letto fino a qua :^)

P.S.: la scrittura \( \) richiede l'inserimento di un formule latex. Per la versione semplificata devi usare $ $

Perché quello che ha dimostrato è che per ogni \(h \ge t\) esiste un \(0 \le r\le t\) tale che \(x^h = x^r\). Mancherebbe, in realtà, il caso degli esponenti negativi, ma immagino che lo abbia coperto altrove.

[AlexanderSC]

Ok, alla fine ho capito rileggendomi il testo.
Grazie cmq per le info sulla scritture semplificate.