Grazie Martino. Provo a rielaborare un po', non sono cose immediate per me.
Martino ha scritto:Se $ Y_1 $ e $ Y_2 $ sono sottoinsiemi di $ X $ della stessa cardinalità allora $ Sym(Y_1) $ e $ Sym(Y_2) $ sono gruppi isomorfi (facile esercizio).
Questo l'ho svolto così:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$Y_1, Y_2$ insiemi; $f: Y_1 \rightarrow Y_2$ biiezione. Definisco la funzione:
\begin{alignat*}{2}
\varphi^{(f)}:\operatorname{Sym}(Y_1)&\longrightarrow& \operatorname{Sym}(Y_2)\\
\sigma&\longmapsto& \varphi_\sigma^{(f)}:Y_2 &\longrightarrow Y_2 \\
&&y&\longmapsto \varphi_\sigma^{(f)}(y):=(f\sigma f^{-1})(y)
\end{alignat*}
La funzione $ \varphi_\sigma^{(f)}:=f\sigma f^{-1}$ è effettivamente una biiezione su $Y_2$, in quanto composizione di una biiezione di $Y_2$ in $Y_1$ ($f^{-1}$), di una biiezione su $Y_1$ ($\sigma$) e di una biiezione di $Y_1$ in $Y_2$ ($f$).
Poi, $\varphi_{\sigma\tau}^{(f)}=f\sigma\tau f^{-1}=f\sigma(\iota_{Y_1})\tau f^{-1}=f\sigma (f^{-1}f)\tau f^{-1}=(f\sigma f^{-1})(f\tau f^{-1})=\varphi_\sigma^{(f)}\varphi_\tau^{(f)}$, per cui $\varphi^{(f)}$ è omomorfismo di gruppi. Inoltre, $\varphi_\sigma^{(f)}=\varphi_\tau^{(f)} \Rightarrow f(\sigma(f^{-1}(y)))=f(\tau(f^{-1}(y))), \forall y \in Y_2 \Rightarrow$ $\sigma(f^{-1}(y))=\tau(f^{-1}(y)), \forall y \in Y_2 \Rightarrow$ $\sigma(x)=\tau(x), \forall x \in Y_1 \Rightarrow \sigma=\tau$, per cui $\varphi^{(f)}$ è iniettiva. Infine, $\forall \alpha \in Sym(Y_2)$, risulta $\alpha=\varphi_{f^{-1}\alpha f}^{(f)}$, per cui $\varphi^{(f)}$ è anche suriettiva e quindi, in definitiva, isomorfismo di gruppi: $\Sym(Y_1) \cong Sym(Y_2)$.
Martino ha scritto:Quindi hai un'immersione canonica di $ Sym(Y) $ in $ Sym(X) $ semplicemente sostituendo $ Y $ con un sottoinsieme di $ X $ della stessa cardinalità di $ Y $.
Questo lo intendo così: se $\psi$ è un'immersione di $Sym(Y_2)$ in $Sym(X)$, allora - con le notazioni in spoiler - $\psi\varphi^{(f)}$ è un'immersione di $Sym(Y_1)$ in $Sym(X)$, in quanto composizione di un omomorfismo iniettivo di $Sym(Y_2)$ in $Sym(X)$ dopo un isomorfismo di $Sym(Y_1)$ in $Sym(Y_2)$.
Martino ha scritto:Più in generale, se hai un'immersione $ f:H to G $ puoi costruirne molte altre tramite il coniugio: fissato $ g in G $ definisci $ f_g:H to G $ da $ h to gf(h)g^{-1} $.
Che rapporto c'è tra le immagini delle varie immersioni così costruite? In particolare, cosa possiamo dire su $gf(H)g^{-1} \cap \tilde gf(H)\tilde g^{-1}$, dati $g,\tilde g \in G$?
Martino ha scritto:Più in generale se $ phi $ è un isomorfismo $ G to G $ e $ f:H to G $ è un'immersione allora puoi costruire un'altra immersione componendo $ f $ con $ phi $: $ H to G $, $ h to phi(f(h)) $.
Questo mi fa generalizzare anche la domanda precedente: che rapporto c'è tra le immagini delle varie immersioni così costruite? In particolare, cosa possiamo dire su $\phi(f(H)) \cap \tilde \phi(f(H))$, dati $\phi,\tilde \phi \in Aut(G)$?
Martino ha scritto:in particolare $ S_n $ si immerge in $ S_{n+1} $ in almeno $ n+1 $ modi, dati dalla scelta del punto fissato da $ S_n $
Posto $I_r:=\{1,...,n+1\} \setminus \{r\}, r=1,...,n+1$, le applicazioni $i_r: S_{I_r} (\cong S_n) \rightarrow S_{n+1}, \alpha \mapsto \sigma$, definite da:
\begin{alignat*}{1}
i \in I_r \Rightarrow &\sigma(i)=\alpha(i) \\
i=r \Rightarrow &\sigma(i)=r
\end{alignat*}
sono $n+1$ immersioni: possiamo comunque dire "di $S_n$ in $S_{n+1}$"? Lo chiedo perchè in realtà $I_r=\{1,...,n\}$ solo per $r=n+1$.
Il resto (caso $n=5$) è un po' troppo "oltre" per me ora, ma ci tornerò. Grazie.