Secondo teorema Konig

[anonymous_f3d38a]

Ciao a tutti,
Ho un dubbio riguardo il secondo teorema di Konig.
Non riesco a capire come mai in un addendo la velocità del centro di massa viene considerata uguale a zero, mentre nell'altro no. Eppure il sistema di riferimento dovrebbe essere lo stesso per i due addendi.
Cito un utente che è riuscito a chiarire il dubbio di un ragazzo, ma non è ahimè riuscito a schiarirmi le idee:

Nel sistema di riferimento inerziale si ha che
$$E_{k}=\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}=\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}(\vec{v}_{i}\cdot\vec{v}_{i})$$
dal teorema delle velocità relative (tra sistema di riferimento inerziale e sistema di riferimento del centro di massa) invece si ha che
$$\vec{v}_{i}=\vec{v}_{CM}+\vec{v}_{i}'$$
ovvero sostituendo
$$E_{k}=\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}(\vec{v}_{CM}+\vec{v}'_{i})\cdot(\vec{v}_{CM}+\vec{v}'_{i})=\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}(v^{2}_{CM}+v'^{2}_{i}+2\vec{v}_{CM}\cdot\vec{v}'_{i})=$$
$$=\frac{1}{2}Mv^{2}_{CM}+\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}v'^{2}_{i}+\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{CM}\cdot\vec{v}'_{i}=E_{kCM}+E_{k'}+\vec{v}_{CM}\cdot\sum_{i}m_{i}\vec{v}'_{i}$$

Nell'ultimo termine la velocità del centro di massa non dipende dall'indice $i$ e quindi esce dalla sommatoria; mentre per le proprietà delle masse $m_{i}$ e del prodotto scalare la sommatoria e le stesse masse entrano nel prodotto scalare.
A questo punto devi osservare che la posizione del centro di massa misurata NEL SISTEMA DI RIFERIMENTO DEL CENTRO DI MASSA è identicamente nulla, e quindi lo sono anche la velocità e l'accelerazione del centro di massa misurate NELLO STESSO SISTEMA DI RIFERIMENTO, ovvero
$$\vec{v}'_{CM}=\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{v}'_{i}}{M}=\vec{0}\hspace{0.5 cm}\Rightarrow\hspace{0.5 cm}\sum_{i}m_{i}\vec{v}'_{i}=\vec{0}$$

La mia domanda riguarda l'ultima frase, ovvero:

"A questo punto devi osservare che la posizione del centro di massa misurata NEL SISTEMA DI RIFERIMENTO DEL CENTRO DI MASSA è identicamente nulla, e quindi lo sono anche la velocità e l'accelerazione del centro di massa misurate NELLO STESSO SISTEMA DI RIFERIMENTO."

Allora anche il primo addendo dovrebbe essere uguale a zero!
Ringrazio chiunque sia in grado di aiutarmi.

[Shackle]

$$E_{k}=\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}(\vec{v}_{CM}+\vec{v}'_{i})\cdot(\vec{v}_{CM}+\vec{v}'_{i})=\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}(v^{2}_{CM}+v'^{2}_{i}+2\vec{v}_{CM}\cdot\vec{v}'_{i})=$$
$$=\frac{1}{2}Mv^{2}_{CM}+\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}v'^{2}_{i}+\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{CM}\cdot\vec{v}'_{i}=E_{kCM}+E_{k'}+\vec{v}_{CM}\cdot\sum_{i}m_{i}\vec{v}'_{i}$$

Nella seconda riga di questa espressione, il primo termine a sinistra è l'energia cinetica valutata, nel riferimento inerziale, come semiprodotto della massa $M$ immaginata concentrata in $CM$ per il quadrato della velocità del $CM$, sempre nel riferimento inerziale detto. Quindi è nient'altro che $E_(kCM)$ : giusto.
A questa , si deve sommare l'energia cinetica del sistema valutata nel riferimento del $CM$ , cioè $E_(k')$ : giusto.

Alla fine hai che l'energia cinetica totale, nel riferimento inerziale, è data da : $E_k =E_(kCM) +E_(k')$ .

[Gabrio]

Il prodotto nell'ultimo termine della seconda riga e' la definizione di baricentro per la velocita' e la velocita' del baricentro rispetto al baricentro e' nulla

[anonymous_f3d38a]

...

Alla fine hai che l'energia cinetica totale, nel riferimento inerziale, è data da : $E_k =E_(kCM) +E_(k')$ .

Ma allora Shackle,

$$\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}(v^{2}_{CM}+v'^{2}_{i}+2\vec{v}_{CM}\cdot\vec{v}'_{i})$$

i primi due termini fra parentesi sono valutati dal sistema di riferimento con centro in $O$ generico, mentre il terzo e ultimo addendo fra parentesi è visto dal sistema di riferimento con origine nel centro di massa??
Come mai?? Io pensavo che fosse tutto visto dallo stesso sistema di riferimento, ovvero un SDR con origine in $O$ (generico)

[anonymous_f3d38a]

Il prodotto nell'ultimo termine della seconda riga e' la definizione di baricentro per la velocita' e la velocita' del baricentro rispetto al baricentro e' nulla

Ciao Gabrio,
Purtroppo penso di non conoscere questa definizione. Ciò nasce dal prodotto scalare tra velocità del punto i-esimo e velocità del centro di massa?

$$\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}(v^{2}_{CM}+v'^{2}_{i}+2\vec{v}_{CM}\cdot\vec{v}'_{i})$$

Io pensavo che tutti i termini fossero relativi ad un sistema di riferimento con origine in $O$ generico, mentre qui sembra che il terzo e ultimo addendo fra parentesi sia visto dal sistema di riferimento con origine nel centro di massa a differenza degli altri due termini fra parentesi.
Non capisco

[Gabrio]

Devi capire come hai ottenuto quell'equazione, hai sostituito alla velocita' assoluta cosa?
Inoltre come e' l'accelerazione, la velocita' e lo spostamento rispetto al centro di massa per un corpo che trasla a velocita' costante?
E' sostanzialmente un isometria, vedilo come un corpo rigido
Per intenderci quelle con gli apici sono velocita' relative al centro di massa mentre la sommatoria e' proprio il la velocita' del centro di massa per definizione e quindi.....

[Shackle]

Ti è chiaro, prima di tutto, come sono messi i riferimenti? Il rif inerziale è quello che tu consideri con origine $O$ generica. Il rif del $CM$ ha origine nel $CM$ del sistema, e assi sempre paralleli a quelli del precedente riferimento inerziale.
LA situazione è questa :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Il punto $P_i$ ha velocità $barv_i$ rispetto al riferimento $Oxyz$ , e ha velocità $barv'_i$ nel riferimento $Cx'y'z'$.
Hai presente la relazione tra velocità assoluta, velocità relativa e velocità di trascinamento? Qui la velocità assoluta è $barv_i$ , la velocita relativa è $barv'_i$ , e la velocità del CM funziona da velocità di trascinamento; tutto il riferimento Cx'y'z' trasla con velocità $barv_(CM) $ rispetto a Oxyz .

$barv_i = barv'_i + barv_(CM)$

Detto questo, rileggi il messaggio di Cuspide83 , che ha fatto tutti i passaggi come si deve; alla fine si trova con tre termini, di cui :

1) il primo rappresenta l'energia cinetica, rispetto ad Oxyz , di tutta la massa M del sistema che immagini concentrata in un solo punto, il CM: è solo energia cinetica di traslazione, quindi;
2) il secondo è l'energia cinetica del sistema nel riferimento Cx'y'z' , prima definito;
3) il terzo termine sarebbe il prodotto (scalare!) di $barv_c$ per la quantità di moto del sistema $Sigma_i m_ibarv'_i$ misurata nello stesso sistema di cui CM è l'origine. Questo termine è nullo, per un motivo molto semplice : per il teorema del moto del CM potresti scrivere la quantità di moto totale nel riferimento Cx'y'z' cosi :

$ Sigma_im_ibarv'_i =Mbarv'_c $

ma la velocità del CM nel riferimento di cui il CM è l'origine è ovviamente zero : $barv'_c = 0$ .

Ti è difficile questo? Se ti sposti rispetto a un ambiente, rispetto a te stesso sei comunque "fermo" . Tutti i moti sono relativi a un riferimento. È chiaro ?

[anonymous_f3d38a]

Ti è difficile questo? Se ti sposti rispetto a un ambiente, rispetto a te stesso sei comunque "fermo" . Tutti i moti sono relativi a un riferimento. È chiaro ?

Grazie mille Shackle ora mi è tutto chiaro!!!