Equivalenza tra circuiti

[giov__]

Per definizione due circuiti sono equivalenti rispetto a due morsetti (ciascuna coppia per ogni circuito) se applicando la stessa tensione ai morsetti dei due circuiti otteniamo la stessa corrente e se applichiamo la stessa corrente con un generatore di corrente otteniamo la stessa tensione.

Il punto è che se uno definisce due cose usando il termine "equivalenti" non vuol dire che posso sostituirle tra loro solo perchè le ho chiamate equivalenti, se si può sostituire la cosa va dimostrata.
Se io dico che due numeri a e b sono "equivalenti" quando a non è b non vuol dire che posso sostituire 1 con 2 in una espressione anche se 1 è "equivalente" a 2 secondo la mia definizione.

[axpgn]

Se 1 è equivalente a 2 secondo la tua definizione, certo che puoi sostituire 1 a 2 ! (in quel contesto con quella definizione ovviamente, non sempre ed ovunque)
Il senso della parola "equivalente" è proprio questo: uno vale l'altro (Ripeto: non in assoluto ma relativamente al contesto e alle condizioni in cui hai dimostrato l'equivalenza).

Il punto è che se uno definisce due cose usando il termine "equivalenti" non vuol dire che posso sostituirle tra loro solo perchè le ho chiamate equivalenti, se si può sostituire la cosa va dimostrata.

Prima dimostri che sono equivalenti, se lo sono allora puoi sostituire uno con l'altro tutte le volte che vuoi.
Ti sei incartato.

Per esempio io posso sostituire questa equazione $x^2+5x+6=0$ con questa $(x-2)(x-3)=0$ (nel contesto della ricerca delle soluzioni di un'equazione di secondo grado) perché qualcuno dimostrò (prima) che data l'equazione $x^2+sx+p=0$ e dette $x_1$ e $x_2$ le due radici allora $s=x_1+x_2$ e $p=x_1*x_2$.
Le due equazioni sono equivalenti.

[giov__]

Il fatto è che io cerco una dimostrazione che vale sempre o almeno in determinate ipotesi. In sostanza i circuiti si risolvono in modo più agevole con le sostituzioni suddette ma io non ho trovato un teorema che in generale mi giustifichi queste sostituzioni. Se devo fare vedere che la sostituzione è lecita caso per caso dovrò risolvere le equazioni di kirchhoff per i due circuiti ma questo è quello che si vuole evitare, cioè negli esercizi ci si appoggia al secondo circuito per non dover risolvere per intero il primo con kirchhoff.
Spero di essere stato chiaro e comunque grazie per la tua attenzione

[axpgn]

Tra il "caso per caso" e il "sempre" c'è una via di mezzo …

Ogni volta che dichiari che due "cose" sono equivalenti devi certamente definire le condizioni per cui è valida questa equivalenza. Ma è un fatto del tutto normale, non è esclusivo dell'Elettrotecnica o della Fisica.
Peraltro, molto spesso queste condizioni sono abbastanza "lasche" (per non dire che valgono quasi sempre).
Per esempio, per quel che ricordo, i concetti di "resistenze in parallelo" o di "resistenze in serie" sostituibili in modo trasparente da una "resistenza equivalente" sono concetti sempre validi nei "normali" circuiti e presumo che su un qualsiasi libro che tratti questi argomenti ci sia la dimostrazione del fatto che siano equivalenti.

[Shackle]

LA discussione si è spostata, mi pare, dalla fisica all'italiano. Ma credo che la difficoltà di @Giov stia proprio nell'accettare che tra morsetti prima e dopo le resistenze in parallelo ci sia la stessa tensione, sia nel circuito di sinistra che in quello di destra.

Giov, guarda questa paginetta (presa dal Mencuccini-Silvestrini):

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

la d.d.p. tra N ed M è la stessa per le due resistenze, Nei due nodi vale inoltre le legge di Kirchhoff per le correnti:

$I=I_1+I_2$

sei d'accordo fin qui? Il resto è una conseguenza di queste semplici considerazioni, come dimostrato nella pagina , e vale una volta per tutte. Non devi applicare Kirchhoff ogni volta. Quando sfrutti il teorema di Pitagora, non devi dimostrarlo ogni volta che lo usi, sai che è stato dimostrato e vale sempre, nella geometria euclidea. Che cosa possiamo mettere , al posto delle due resistenze in parallelo $R_1$ ed $R_2$ ? Un resistenza che "equivalga" alle due , nel senso che :

1) la d.d.p. ai suoi capi sia la stessa di prima
2) la corrente che circola in essa sia la somma delle correnti circolanti in $R_1$ e in $R_2$ .

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A proposito della storia " 1 = 2 " , c'è un aneddoto riguardante Bertrand Russell , filosofo e matematico. Non so se lo conosci, ma ad ogni modo lo riporto, anche se qui non c'entra molto :

Un altro classico: se 2=1 allora io sono il Papa

Un tale chiese al famoso logico Bertrand Russell.
- E' vero che partendo da premesse false si può dimostrare qualunque cosa?
E Russell rispose:
- Certo!
- Lei sarebbe capace di dimostrare che se 2=1 allora lei è il Papa?
Bertrand Russell ci pensò un po' su poi chiese:
- Secondo lei, io ed il Papa quanti siamo?
- Due.
- Ma siccome 2=1 allora io e il Papa siamo 1. Perciò io sono il Papa.

[giov__]

Il discorso è che nella definizione si pone la tensione uguale mentre se i due circuiti equivalanti vengono immersi in un altro circuito non posso a priori se le tensioni saranno uguali a meno che non si dimostra con un ragionamento che prende in considerazioni le leggi di kirchhoof ed eventualmente sotto opportune ipotesi.
Ad esempio esiste il teorema di sostituzione che riguarda i generatori di tensione e di corrente e che ha una sua dimostrazione che riporto:


ENUNCIATO
Si consideri una rete arbitraria contenente elementi qualsiasi inclusi generatori indipendenti. Si consideri un lato particolare, per esempio il lato K che non sia accoppiato ad altri lati della rete, cioè, il lato K non può essere un lato di induttore accoppiato e nemmeno un lato di un generatore dipendente. Si supponga che per le eccitazioni date, la rete ammetta soluzione unica per tutte le tensioni e le correnti dei lati.Siano iK(t) e vK(t) le forme d’onda della corrente e della tensione di lato K.
Si supponga che il lato K sia sostituito da un generatore di corrente indipendente con forma d’onda iK(t), uguale a quella del lato sostituito, o da un generatore di tensione indipendente con forma d’onda vK(t), uguale a quella del lato sostituito. Se la rete modificata ammette ancora soluzione unica per ogni corrente e tensione di lato, allora tutte le correnti e le tensioni della rete modificata risultano identiche a quelle della rete originale.

DIMOSTRAZIONE
Siano v1, v2, …, vb e i1, i2, …, ib le tensioni e le correnti dei lati della rete originale; siccome la rete ammette per ipotesi soluzione unica, questo significa che le predette tensioni e correnti sono le sole che soddisfano le relazioni LKT e LKC, le condizioni iniziali e le equazioni di lato della rete data. La rete modificata si ottiene sostituendo il lato K-esimo con un generatore di tensione vK o di corrente iK, come discusso nell’enunciato. Siccome per ipotesi la rete modificata ammette ancora soluzione unica, poiché la topologia della rete data e della rete modificata è la stessa, le LKC e le LKT coincidono per le due reti, le condizioni iniziali sono le stesse per entrambe le reti, tutte le equazioni di lato sono le stesse eccetto quelle del lato k-esimo, ma per tale lato è stato scelto un generatore avente come grandezza impressa proprio vK o iK. In virtù dell’unicità della soluzione le v1, v2, …, vb e i1, i2, …, ib della rete originaria e modificata coincidono.

Una dimostrazione simile secondo me occorre quando si sostituiscono circuiti equivalenti.

[Shackle]

Senti Giov, basta mezza paginetta per determinare la resistenza equivalente di due o piu resistenze in parallelo. Se ogni volta che si deve risolvere un circuito si deve fare tutto quel ragionamento, e applicare Kirchhoff ogni volta, stiamo freschi !

Non occorre moltiplicare gli enti senza necessità , diceva Occam. Ma ognuno è libero di fare come vuole. Ciao.

[giov__]

Non devi farlo ogni volta ma farlo solo nella dimostrazione di un teorema che poi applichi. Il mio obiettivo non è determinare la resistenza equivalente di due o più resistenze in parallelo ma dimostrare che in generale posso in un circuito sostituire una sua sottoparte A con una ad essa equivalente A' (secondo la definizione da me data) ed avere così di fatto un'altro circuito in cui la tensione in A' è quella in A nel circuito di partenza.
Forse purtroppo non riesco a spiegarmi bene non so, comunque grazie lo stesso per la tua attenzione.

[giov__]

Per maggiore chiarezza:

La definizione di "equivalente" è: due circuiti sono equivalenti rispetto a due morsetti (ciascuna coppia per ogni circuito) se applicando la stessa tensione ai morsetti dei due circuiti otteniamo la stessa corrente e se applichiamo la stessa corrente con un generatore di corrente otteniamo la stessa tensione. Chiamo questa proposizione A.

La definizione di "equivalente" non è: il resto del circuito (ovvero la parte che è rimasta tale e quale a come era prima della sostituzione) NON si deve accorgere del cambiamento (non deve risentirne in nessun modo, non solo le correnti e le tensioni). Chiamo questa proposizione B.

Il punto è che quando si fa la sostituzione si ottengono alla fine due circuiti differenti (quello originario e quello ottenuto con la sostituzione) e di fatto la tensione o la corrente non è decisa da noi ma dal circuito per intero risolvendo le equazioni di kirchhoff che sono differenti.
Io voglio dimostrare che A implica B, a qualcuno potrà sembrare intuitivo che vale l'implicazione ma di fatto sono due affermazioni differenti che bisogna dimostrare.

Grazie comunque ad axpgn per le sue osservazioni.

[axpgn]

Ti sei incartato sul nulla …

Non è una questione di Fisica né di Italiano ma di Logica.

$\text("A' è equivalente ad A") <=> \text("ho dimostrato che posso sostituire A con A'")$

Questo è il senso di equivalente, o meglio ancora, di "relazione di equivalenza" ed è per questo che è così importante (in generale, non solo in Fisica).
Quando io ho dimostrato l'equivalenza, qualsiasi elemento appartenente alla stessa classe di equivalenza è intercambiabile.
Ovviamente nell'ambito di quella relazione di equivalenza.

Insomma, se sei riuscito a dimostrare UNA VOLTA che puoi sostituire $n$ resistenze in parallelo con una sola resistenza equivalente secondo certe regole e sotto certe condizioni, tutte le volte che si ripresentano le stesse condizioni puoi fare la sostituzione (anche al contrario) senza doverlo dimostrare di nuovo. Punto.