Siano $A,B on M_n(K)$ di ha
$det(AB)=det(A)det(B)$
Dimostrazione:
\(\displaystyle AB=\begin{vmatrix} a_{11} \mathbf{b}_1 + a_{12}\mathbf{b}_2+...+a_{1n}\mathbf{b}_n \\ a_{21}\mathbf{b}_1 + a_{22}\mathbf{b}_2+...+a_{2n}\mathbf{b}_n \\ ... .... .... \\ a_{n1}\mathbf{b}_1 + a_{n2}\mathbf{b}_2+...+a_{nn}\mathbf{b}_n \end{vmatrix} \)
Sia
\(\displaystyle det(AB)=det\begin{vmatrix} a_{11} \mathbf{b}_1 + a_{12}\mathbf{b}_2+...+a_{1n}\mathbf{b}_n \\ a_{21}\mathbf{b}_1 + a_{22}\mathbf{b}_2+...+a_{2n}\mathbf{b}_n \\ ... .... .... \\ a_{n1}\mathbf{b}_1 + a_{n2}\mathbf{b}_2+...+a_{nn}\mathbf{b}_n \end{vmatrix}=a_{11}det\begin{vmatrix} \mathbf{b}_1 \\ a_{21}\mathbf{b}_1 + a_{22}\mathbf{b}_2+...+a_{2n}\mathbf{b}_n \\ ... .... .... \\ a_{n1}\mathbf{b}_1 + a_{n2}\mathbf{b}_2+...+a_{nn}\mathbf{b}_n \end{vmatrix}+...+a_{1n}det\begin{vmatrix} \mathbf{b}_n \\ a_{21}\mathbf{b}_1 + a_{22}\mathbf{b}_2+...+a_{2n}\mathbf{b}_n \\ ... .... .... \\ a_{n1}\mathbf{b}_1 + a_{n2}\mathbf{b}_2+...+a_{nn}\mathbf{b}_n \end{vmatrix}=...=\sum_{h_1,h_2,...,h_n=1}^na_{1h_1}a_{2h_2}...a_{nh_n}det\begin{vmatrix} \mathbf{b}_{h_1} \\ ... \\ \mathbf{b}_{h_n} \end{vmatrix} \)
Salvo imprevisti di battitura la dimostrazione è questa (pag. 116 Introduzione ai metodi dell'algebra lineare di Nicola Melone), ovviamente continua, ma vorrei chiarire il seguente punto:
L'ultimo passaggio non riesco a formalizzarlo, mi spego meglio, se faccio variare i pedici $h_i$ mi ritrovo con il \(\displaystyle det=\begin{vmatrix} \mathbf{b}_{h_1} \\ ... \\ \mathbf{b}_{h_n} \end{vmatrix}=0 \), nonchè la dimostrazione continua dicendo:
In tale somma ogni addendo corrispondente ad una n-upla ndi indici $h_1,h_2,..., h_n$ non tutti distinti risulta nullo, in quanto $h_i=h_j to mathbf{b}_{h_i}=mathbf{b}_{h_j}$ e quindi le due righe sono uguali allora il \(\displaystyle det\begin{vmatrix} \mathbf{b}_{h_1} \\ ... \\ \mathbf{b}_{h_n} \end{vmatrix}=0 \)
Mi potreste dare una mano, con questo mio dubbio.
Ciao