non vorrei dire una mentulata, piuttosto esprimere una cosa di cui non sono certo, e che mi è venuta in mente leggendo questo problema.
Mi sembra che se $y'(x)=f(x,y(x))$, con $f in C^(infty)$, ammette soluzione allora $y in C^(infty)$
questo perchè $y$ è derivabile e $f$ differenziabile quindi per l'uguaglianza $y'$ è derivabile
$y''(x)=d/dx y'(x)=d/dx f(x,y(x))=nablaf(x,y(x))*(1,y'(x)):=f_1(x,y(x),y'(x))$
$f_1$ è differenziabile poiché prodotto scalare tra funzioni che sono tali
in genere poi per induzione si prova che $y^((n))=f_(n-1)(x,y(x),...,y^((n-1))(x))$ con $f_(n-1)$ differenziabile.