Ciao Alex, ciao Giammaria.
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Ho gravi problemi familiari che però non mi tengono occupato. Allora, se non altro per distrarmi un po', seguo i quiz di matematicamente.it e di Rudi Mathematici]. Di questo quiz avevo trovato le risposte per via analitica – con la quale le risposte risultano molto facili – ancora giorni fa. [Ora, benché in ritardo, dico anch'io la mia.
Non è male nemmeno la soluzione per via analitica.
Ecco quel che avevo fatto io ancora alcuni giorni fa.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Nel piano cartesiano assumo:
$(x_A, y_A) = (0, 0)$; $(x_B, y_B) = (1, 0)$; $(x_M, y_M) = (k, 0)$, (con $0<k<1$). Poi, scegliendo $y≥0$, trovo:
$(x_C, y_C) =(k, k)$; $(x_D, y_D) = (0, k)$; $(x_E, y_E) = (1, 1-k)$; $(x_F, y_F) = (k, 1-k)$.
Le equazioni dei cerchi circoscritti rispettivamente ad AMCD e MBEF sono:
1) $x^2 + y^2-kx-ky=0$;
2) $x^2 + y^2 -(1+k)x -(1-k)y +k = 0$.
Le rette AF e BC hanno equazioni rispettive:
3) $y=(1-k)/k x$;
4) $y=-k/(1-k)x +k/(1-k)$.
Punto 1
a) Entrambe le 1) e 2) sono soddisfatte da $(x, y) = (x_M, y_M) = (k, k)$.
b) Dalle 3) e 4) viene che l'intersezione N' delle rette AF e BC ha coordinate:
$x_(N') = k^2/(k^2 + (1-k)^2)$; $y_(N') = (k(1-k))/(k^2+(1-k)^2)$.
c) Se nelle 1) e 2) si sostituiscono $x$ con $x_(N')$ ed $y$ con $y_(N')$ entrambe le 1) e 2) diventano identità.
Dunqueè $N'$ coincider con $N$.
Punto 2
La retta $MN$ (che varia al variare di k) ha equazione:
5) $x=(2k-1)y + k$ che per $k = 1/2$ diventa $x=1/2$. [Cioè:: ascissa x=1/2 per qualunque ordinata y].
Se esiste un punto Sper il quale la retta $MN$ passa per ogni k, l'ascissa di questo punto deve essere 1/2.
Riscritta la 5) nella forma $y = (x-k)/(2k-1)$, per $x=1/2$ si trova $y=(1/2 - k)/(2k-1) = –1/2$.
In effetti sostituendo nella 5) $(x, y)$ con $(1/2, –1/2)$ risulta: $1/2 = –(2k-1)/2 + k$, ossia l'identità $1/2 = 1/2$.
Punto 3
Le coordinate di P sono $(x_P, y_P) = (k/2, k/2)$ e quelle di Q sono $(x_Q, y_Q)=((1+k)/2, (1-k)/2)$.
Le coordinate del punto medio del segmento di estremi P e Q soino dunque:
$x = (1+2k)/4$; $y=1/4$.
Pertanto, variando k tra 0 ed 1, il luogo richiesto è il segmento parallelo ad AB di estremi H e K di rispettive coordinate:
$(x_H, y_H) = (1/4, 1/4))$; $(x_K, y_K) = (3/4, 1/4)$.
Pnto 4 (Aggiunto da Giammaria: "Qual è il lugo di $N = N$' al variare di k?")
Il cerchio di diametro AB ha equazione:
6) $x^2 + y^2 -x=0$,
Si verifica subito che le coordinaste di $N$, cioè
$x_N= k^2/(k^2 + (1-k)^2)$ e $y_N=(k(1-k))/(k^2+(1-k)^2)$
soddisfano la 6). Basta allora aggiungere alla 6 la condizione $y ≥0$ per averer il luogo di N (cioè la semicirconferenza di diametro AB dalla parte del verso positivo delle ordinate.
________