Riscrivere una matrice come prodotto di matrici elementari.

Messaggioda Pasquale 90 » 20/11/2019, 09:22

Buongiorno.


Come da titolo, sia $A in M_n(K)$
\(\displaystyle A=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \)


prima operazione
\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} \)

seconda operazione
\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} \)

terza operazione
\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1/2 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \)


cioè ho moltiplicato a sinistra di $A$ per una matrice elementare relativamente all'operazione. Per le singole operazione elementari devo determinare l'inversa, cioè, devo determinare l'inversa della matrice corrispondete.
(Se ho detto male, correggetemi :) )

Sia
\(\displaystyle E_3=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1/2 \end{vmatrix} \) la sua inversa \(\displaystyle A_1=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} \)

quindi
\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}\)


Sia
\(\displaystyle E_2=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \) la sua inversa \(\displaystyle A_2=\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \)

quindi
\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}\)


Sia
\(\displaystyle E_3=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} \) la sua inversa \(\displaystyle A_3=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \)

quindi
\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -6 & -2 \end{vmatrix}\)


L'errore mi sembra che deve essere nel secondo passaggio, cioè, quello scritto in rosso. Ho provato a vedere, ma non riesco a visualizzarlo.

Grazie in anticipo per le risposte.
Pasquale 90
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 6 di 46
Iscritto il: 14/11/2019, 11:24

Re: Riscrivere una matrice come prodotto di matrici elementari.

Messaggioda Sergio » 20/11/2019, 11:24

Hai sbagliato l'ordine:
se \(E_3E_2E_1A=I\) allora \(E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}= A\), ma \(E_3^{-1}E_2^{-1}E_1^{-1}\ne A\).
Questo perché
a) il prodotto tra matrici in generale non è commutativo,
b) l'inversa del prodotto di matrici è uguale al prodotto delle inverse in ordine inverso.
Qui hai \(E_3E_2E_1A=I\), ovvero \(E_3E_2E_1=A^{-1}\). Per tornare ad \(A\) ti serve \((A^{-1})^{-1}\), cioè \((E_3E_2E_1)^{-1}\): devi invertire l'ordine.
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
Avatar utente
Sergio
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 6236 di 6267
Iscritto il: 26/04/2004, 10:56
Località: Roma

Re: Riscrivere una matrice come prodotto di matrici elementari.

Messaggioda Pasquale 90 » 22/11/2019, 11:01

Grazie per la risposta sergio, inoltre, da questa tua risposta, mi posso rispondere anche alla domanda

$AB=C to A=B^(-1)C or A=CB^(-1)$
vale la seconda, essendo il prodotto tra matrici non commutativo:
Se fosse per assurdo corretta la prima $A=B^(-1)C to AB=B^(-1)CB ne C$
invece $A=CB^(-1) to AB=CB^(-1)B=C(B^(-1)B)=C(I_n)=C $.

?
Pasquale 90
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 8 di 46
Iscritto il: 14/11/2019, 11:24


Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Gabrio e 16 ospiti