_fabricius_ ha scritto:mi verrebbe da dire che ogni insieme biiettivo a $A\times B$ può essere dotato di una struttura di prodotto definendo opportunamente le proiezioni.
No, questo è falso
il problema è che la biiezione non è canonica; prendi una biiezione \(f : X\to A\times B\); certo per ogni coppia di funzioni \(Z\to A, Z\to B\) troverai una funzione \(Z\to X\) componendo con l'inversa di $f$, ma niente ti assicura che questa sia unica (e in generale, non lo sarà: ogni insieme abbastanza grande ha almeno due automorfismi distinti...).
La proprietà che stai mancando è quella della "canonicità" o "naturalità": la biiezione tra due oggetti con la stessa proprietà universale non solo esiste, ma è anche unica. Coi quantificatori al posto giusto, la proprietà universale del prodotto è che per ogni insieme \(Z\) e ogni coppia di funzioni \(g_A : Z \to A\) e \(g_B : Z\to B\), esiste
un'unica funzione \(Z\to A\times B\) tale che i due triangoli
Se prendi un generico insieme in biiezione con \(A\times B\) l'unicità segnata in rosso smette di essere vera. Quel che però è vero è che
se esiste un altro insieme \(A\times'B\)
con la stessa proprietà universale, allora esiste un
unico isomorfismo \(A\times B\cong A\times' B\); nessuna delle affermazioni nei diversi colori è eliminabile da questo enunciato.
Vediamo perché: supponi che esistano due prodotti \(A\times B\) e \(A\times' B\); chiamo \(g_A : A\times' B\to A, g_B : A\times' B\to B\) le proiezioni con cui \(A\times' B\) è equipaggiato. Allora siccome \(A\times B\) è un prodotto, esiste una unica funzione \(u : A\times' B\to A\times B\) che fitta in
Del resto, anche \(A\times' B\) è un prodotto. Allora esiste un'unica \(v : A\times B\to A\times' B\) che fitta in
Del resto adesso la composizione \(vu : A\times' B \to A\times' B\) deve fare l'identità, perché l'identità è l'unica funzione che fitta in
Sorte simile capita alla composizione \(uv : A\times B \to A\times B\): è l'unica funzione che fitta in
Allora però, per l'unicità degli inversi, \(u = v^{-1}\) è una biiezione, e \(A\times B\) è isomorfo a \(A\times' B\). Il punto è, però, che non sono solo isomorfi: sono isomorfi
in un unico modo.
Ecco che allora per fare l'esercizio 3 è sufficiente dimostrare che gli insiemi \(A\times (B\times C)\) e \((A\times B)\times C\), formalmente definiti in modo diverso, hanno la stessa proprietà universale: la dimostrazione si farà joinando la proprietà universale di questi due con quelle di \(B\times C\) e \(A\times B\), per ottenere un diagramma del tipo
dove tutte le funzioni sono le rispettive proiezioni; adesso le frecce con la stellina danno un'unica funzione \(A\times (B\times C)\to A\times B\) che accoppiata con la composizione \(A\times (B\times C)\to B\times C \to C\) dà un'unica funzione \(u : A\times (B\times C) \to (A\times B)\times C\) (e commuta con le proiezioni sui fattori). Con un ragionamento analogo puoi dimostrare che esiste un'unica \(v : A\times (B\times C) \leftarrow (A\times B)\times C\) (e commuta con le proiezioni sui fattori); la loro composizione deve essere l'identità delle due parentesizzazioni di \(A\times B\times C\), che quindi sono isomorfe.
Ma non sono solo isomorfe: esiste un solo modo in cui lo possono essere se a questo modo chiedi di essere "compatibile con l'ambiente".
Alcune osservazioni: questo modo di dimostrare l'isomorfismo dell'esercizio 3 è completamente cieco a cosa c'è dentro \(A,B,C\), perché non ho mai parlato di "elementi" di nessun tipo. Funziona, quindi, a prescindere dalla libertà di parlare della relazione di elementhood; ci sono ovviamente molte altre biiezioni tra le parentesizzazioni \(A(BC)\) e \((AB)C\): tante quante il gruppo delle funzioni biiettive \(u : A(BC)\cong (AB)C\). Del resto a far commutare il diagramma di sopra è solo una di queste \(u\), quella trovata sopra. Da ultimo, la funzione \(u\) non è una bestia sconosciuto: essendo determinata da cosa fa sui fattori dal comporre con le proiezioni su \(A,B,C\), sappiamo che \(u\) si limita a "spostare le parentesi" da \(((a,b),c)\) a \((a, (b,c))\); la sua inversa \(v\) le sposta nella direzione opposta: \(v(a, (b,c)) = ((a,b),c)\). Con questa espressione esplicita è chiaro che queste due funzioni semitautologiche sono una l'inversa dell'altra; del resto questa loro caratterizzazione (e la loro forma particolarmente semplice) è
una conseguenza della proprietà universale che devono avere.
Per quanto riguarda gli altri quesiti:
4. Niente: in generale può essere vuoto
5. Presi due spazi vettoriali \(V,W\), il prodotto \(V\times W\) è lo spazio vettoriale che ha come insieme di vettori il prodotto dei due insiemi, dove la somma di vettori si fa sulle singole componenti, e dove la moltiplicazione per uno scalare si fa moltiplicando ciascuna delle componenti: \((v,w)+(v,w')=(v+v', w+w')\) e \(a(v,w)=(av,aw)\). Con questa definizione, ogni coppia di funzioni lineari \(f,g\) definite sui fattori \(V,W\) da un dominio \(Z\) inducono un'unica funzione lineare \(Z\to V\times W\) che agisce sul vettore \(z\) mandandolo in \((fz, gz)\). La stessa dimostrazione di prima fa vedere che \(V\times (W\times U)\cong (V\times W)\times U\).
Ciò che è divertente è che \(V\times W\) ha anche la proprietà duale: ossia, esistono due mappe lineari \(i_V : V\to V\times W\) e \(i_W : W\to V\times W\) tali che per ogni coppia di funzioni lineari \(f_V : V\to Z\) e \(f_W : W\to Z\) ne esista un'unica \(V\times W \to Z\) che fitta in
"In verità le cose che nella vita sono tenute in gran conto si riducono a vanità, o putredine di nessun valore; botoli che si addentano, bambocci litigiosi che ora ridono, poi tosto piangono." (Lotario conte di Segni)