Intanto concordiamo le definizioni:
Dato un $k$-spazio vettoriale $V$ (nota)1
Una flag è una successione al più numerabile e strettamente crescente di sottospazi vettoriali che parte da $0$ e "finisce" con $V$.
In formule \(\mathcal{F}=\{ W_i \}_{i \in \mathbb{N}}\) con
\(W_i \subsetneq W_{i+1}\)
$W_0=0$
$\bigcup_{i \in mathbb{N}}W_i=V$
Si vede che è possibile ordinare le flag rispetto al contenimento, rendendo l'insieme delle flag un poset.
C'ho messo un po' a capire che era una cosa sensata
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Una flag \(\mathcal{F}_1=\{ W_i \}_{i \in \mathbb{N}}\) è contenuta in una flag \(\mathcal{F}_2\) se vale \( W_i \in \mathcal{F}_2 \ \ \forall i \) ovvero proprio \(\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2\)
Con poco sforzo possiamo anche dire che le flag sono un reticolo.
Basta far vedere che unione di flag è flag e intersezione di flag è flag2.
Con poco sforzo possiamo anche dire che le flag sono un reticolo.
Basta far vedere che unione di flag è flag e intersezione di flag è flag2.
Avvalendosi del lemma di Zorn (certo dovremmo verificare le ipotesi ) si vede che esistono flag massimali.
Inoltre osserviamo che possono essere caratterizzate come le flag che sono indotte da una base (questo non dovrebbe essere difficile da dimostrare).
Nota: le basi saranno sempre basi ordinate, anche se a volte mi dimenticherò di scriverlo.
Adesso mettiamoci nel contesto che piace a noi
Ovvero $V$ $k$-sp. vett. di dimensione finita con $k=F_q$ campo con $q$ elementi dove $q$ potenza di un primo.
Vogliamo contare le flag massimali.
Contate queste, contare tutte le flag dovrebbe essere abbastanza facile, perché le posso vedere come una scelta di sottospazi in una flag massimale (Sotto a questa cosa ci sta il fatto che ogni flag la posso estendere a flag massimale).
Ora vediamo che basi diverse possono indurre la stessa flag, ma come si capisce se due basi inducono la stessa flag? La risposta che mi sono dato è la seguente:
Lemma due basi $B_1$ e $B_2$ inducono la stessa flag se e solo se la matrice di cambio di base $M_{B_1, B_2}$ è triangolare.
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La dimostrazione la metterò poi, se questa cosa suscita l'interesse di qualcuno e se non vengo smentito .
Intanto chi è interessato si cimenti pure!
Intanto chi è interessato si cimenti pure!
Adesso si dimostra che ( \(B_1 \sim B_2 \leftrightarrow M_{B_1, B_2}\) è triangolare) è una relazione di equivalenza sull'insieme delle basi (ordinate) di $V$.
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Chi è interessato può provare, forse io la metterò domani
Ci siamo quindi ridotti, per il nostro problema, a contare la cardinalità di \(X/\sim\) dove $X$ è l'insieme delle basi (ordinate) di $V$ e \(\sim\) è la relazione di equivalenza introdotta.
Nota: mi rendo conto adesso che si può rileggere tutto in termini di azione del gruppo delle matrici triangolari sull'insieme $X$, e quello a cui ci siamo ridotti è contare le orbite.