limite di nepero

Messaggioda gaussie » 02/12/2019, 18:17

ciao
scusata ma credo di stare a perderemi in un bicchiere d'acqua

ho questo limite
$ lim x->oo ((1+1/x)^(x^2)-e^x-2x)/(3e^x-x^3) $

so che dovrebbe fare $-1+1/(e^(1/2))$

ora io non riesco a capire dove salta fuori la radice
il passaggio iniziale che farei io e' fare diventare x^2 in x

$(1+1/x)^x)^x$ e da qui applico l equivalenza sintotica e mi ritrovo $(e^x-e^x-2x)/(3e^x-x^3)$ che tende tutto a zero....so che per voi e' banale ma cosa sbaglio?
gaussie
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Re: limite di nepero

Messaggioda pilloeffe » 02/12/2019, 19:02

Ciao gaussie,

Raccoglierei $e^x $ al numeratore e al denominatore:

$ \lim_{x \to +\infty} ((1+1/x)^(x^2)-e^x-2x)/(3e^x-x^3) = 1/3 \cdot \lim_{x \to +\infty} (e^{x^2 ln(1 + 1/x)}-e^x-2x)/(e^x-x^3/3) = $
$ = 1/3 \cdot \lim_{x \to +\infty} (e^{x^2 ln(1 + 1/x) - x}- 1-(2x)/e^x)/(1-x^3/(3e^x)) = 1/3 \cdot (e^{- 1/2}- 1-0)/(1- 0) = 1/3 \cdot (- 1 + 1/sqrt{e}) $
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Re: limite di nepero

Messaggioda gaussie » 02/12/2019, 19:29

ma e' proprio li che non capisco
$lim (x^2*log(1+1/x)-x)$ il logaritmo non dovrebbe diventare 1/x visto che con x tendente ad infinito quello si comporta come uno zero quindi $x^2*1/x-x$?
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Re: limite di nepero

Messaggioda pilloeffe » 02/12/2019, 19:40

Beh, non ti puoi fermare al primo ordine perché si è in presenza di una cancellazione visto il $- x$:

$ x^2 ln(1 + 1/x) - x = - 1/2 + 1/(3x) + o(1/x^2) $
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Re: limite di nepero

Messaggioda gaussie » 02/12/2019, 19:50

niente
ufficiale mi sono rimbabito

grazie scusa per lo sbatti
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