Dominio integrali tripli

Messaggioda Salvy » 02/12/2019, 18:57

Salve a tutti , ho un dubbio riguardante il passaggio alle coordinate cilindriche per il calcolo di un integrale triplo.
Il dominio è questo : $A={(x,y,z)in R^3 : x^2+y^2+z^2<=4; z^2<=3(x^2+y^2)}$
L'ho scritto in questo modo per evidenziare la somma $x^2 + y^2$ :$ z^2/3<=x^2+y^2<=4-z^2$
A questo punto , utilizzo le coordinate cilindriche e ottengo :
$ D=z^2/3<=rho^2<=4-z^2 $
Da qui mi escono 2 condizioni per il $rho$ ,


quale devo scegliere
1) $-sqrt(4-z^2)<=rho<=sqrt(4-z^2) $ ed essendo $rho>0$; $0<=rho<=sqrt(4-z^2)$
2) $ rho<=-z/sqrt(3) ; rho>=z/sqrt(3)$ ed essendo $rho>0$ prendo soltanto $rho>=z/sqrt(3)$
Dunque la condizione finale è questa? :
$z/sqrt(3)<=rho<=sqrt(4-z^2)$
P.s. ho provato a farlo in coordinate sferiche , e sembra più semplice da impostare ...
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Re: Dominio integrali tripli

Messaggioda Salvy » 03/12/2019, 20:45

Qualcuno sa aiutarmi?
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Re: Dominio integrali tripli

Messaggioda pilloeffe » 04/12/2019, 20:24

Ciao Salvy,

Se $ A = {(x,y,z) \in \RR^3 : x^2+y^2+z^2 <= 4; z^2 <= 3(x^2+y^2)} $ si può scrivere $x^2 + y^2 <= 4 - z^2 \implies 3(x^2 + y^2) <= 12 - 3 z^2 $ e quindi, tenendo conto del fatto che $3(x^2 + y^2) >= z^2 $, in definitiva si ha:

$z^2 <= 3(x^2+y^2) <= 12 - 3 z^2 \implies z^2 <= 12 - 3z^2 \implies z^2 - 3 <= 0 \implies - sqrt3 <= z <= sqrt3 $
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Re: Dominio integrali tripli

Messaggioda Salvy » 04/12/2019, 21:02

pilloeffe ha scritto:Ciao Salvy,

Se $ A = {(x,y,z) \in \RR^3 : x^2+y^2+z^2 <= 4; z^2 <= 3(x^2+y^2)} $ si può scrivere $x^2 + y^2 <= 4 - z^2 \implies 3(x^2 + y^2) <= 12 - 3 z^2 $ e quindi, tenendo conto del fatto che $3(x^2 + y^2) >= z^2 $, in definitiva si ha:

$z^2 <= 3(x^2+y^2) <= 12 - 3 z^2 \implies z^2 <= 12 - 3z^2 \implies z^2 - 3 <= 0 \implies - sqrt3 <= z <= sqrt3 $

Quello che ho fatto io è sbagliato o è giusto ma non mi porta a concludere nulla?
Usando la condizione che hai trovato su z, posso procedere per strati e calcolare l'integrale doppio sulla circonferenza $x^2+y^2<=4$ (ponendo z = 0 visto che sono sul piano xy)?
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Re: Dominio integrali tripli

Messaggioda pilloeffe » 05/12/2019, 07:42

Beh, a questo punto potresti scrivere l'integrale triplo proposto ed il risultato (se ne disponi), così poi lo possiamo risolvere e la discussione può tornare utile anche ad altri utenti del forum... :wink:
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