dissonance ha scritto:jinsang ha scritto:Adesso mettiamoci nel contesto che piace a noi
Ovvero $ V $ $ k $-sp. vett. di dimensione finita con $ k=F_q $ campo con $ q $ elementi dove $ q $ potenza di un primo.
Vogliamo contare le flag massimali.
Contate queste, contare tutte le flag dovrebbe essere abbastanza facile, perché le posso vedere come una scelta di sottospazi in una flag massimale (Sotto a questa cosa ci sta il fatto che ogni flag la posso estendere a flag massimale).
Scusate se mi intrometto, ma vorrei vedere la risposta a questa domanda, è stata data? Forse me la sono persa? (In questo thread, la domanda sopra è l'unica che ammette una risposta concreta sotto forma di un numero, ed è quindi la più importante, stando
all'"advice to young mathematicians" di Georges Elencwajg. Mi dispiacerebbe se venisse snobbata).
No infatti hai ragione.
Provo a darla adesso:
Diciamo che $dimV=n$
Considero l'azione
\[Gl(V)\rightarrow \mathfrak{S}(flag(V)) \\
g\mapsto \phi_g:flag(V)\rightarrow flag(V)\\
\phi_g(W_0\subsetneq ... \subsetneq W_k)= g(W_0)\subsetneq ... \subsetneq g(W_k)\]
Si può vedere che la successione delle dimensioni dei sottospazi è un invariante completo per l'azione (nel senso che due bandiere sono nella stessa orbita se e solo se hanno la stessa successione delle dimensioni).
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Da una parte è chiaro che l'azione conserva le dimensioni.
Invece per mostrare che se due bandiere hanno la stessa succ. delle dim. allora stanno nella stessa orbita, possiamo vedere le due badiere come:
\(span\{u_1,...,u_{j_0} \} \subsetneq ... \subsetneq span\{u_1,...,u_{j_k} \} \subseteq span \{ u_1,...,u_n \} =V\)
\(span\{w_1,...,w_{j_0} \} \subsetneq ... \subsetneq span\{w_1,...,w_{j_k}\} \subseteq span\{ w_1,...,w_n \} =V\)
E quindi prendere l'applicazione lineare che manda la prima base nella seconda base.
Cioè $g(u_i)=w_i$.
Dunque le bandiere massimali rappresentano un'orbita (quella che ha successione delle dimensioni $0<1<...<n$).
Per un noto fatto di algebra, dato un generico \(\mathcal{F} \in flag(V)\), abbiamo la bigezione:
\[orb(\mathcal{F}) \leftrightarrow Gl(V)/stab(\mathcal{F})\]
Quindi se troviamo la cardinalità di $Gl(V)$ e di \(stab(\mathcal{F})\) (dove \(\mathcal{F}\) è una bandiera massimale) sappiamo quante sono le bandiere massimali.
Poniamo \(\mathcal{F}=(0 \subsetneq span\{e_1 \} \subsetneq ... \subsetneq span\{e_1,...,e_n\})\)
Vediamo che \(g \in stab(\mathcal{F}) \Leftrightarrow g(e_i) \in span \{e_1,...,e_i\} \ \ \forall i \)
Questo è equivalente a dire che $g$ si rappresenta come matrice triangolare nella base \(\{e_1,...,e_n\}\)
Siamo arrivati perché:
\[ \#Gl(V)=(q^n-1)(q^n-q)...(q^n-q^{n-1})=q^{n(n-1)/2}\prod_{1\leq j \leq n} (q^j-1) \]
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E' come scegliere una base che è come scegliere un vettore non nullo, poi uno che non è comb. lin. del primo, poi uno che non è comb. lin. dei primi due,...
\[ \#stab(\mathcal{F})=(q-1)^nq^{n(n-1)/2}\]
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
E' come contare le matrici triangolari invertibili, quindi scelgo i coefficienti sulla diagonale non nulli, sopra la diagonale metto cosa mi pare
Perciò
\[ \#orb(\mathcal{F})= \frac{\#Gl(V)}{\#stab(\mathcal{F})} = \frac{\prod_{1\leq j \leq n} (q^j-1)}{(q-1)^n}=\prod_{1\leq j \leq n}\frac{(q^j-1)}{(q-1)}=\prod_{1\leq j \leq n}\sum_{0\leq i < j}q^i \]
Per il caso generale (bandiere non necessariamente massimali) si ragiona come sopra, solo che gli stabilizzatori saranno matrici triangolari a blocchi. Sarà un pochino più difficile contare ma non difficilissimo, basta osservare che i blocchi sulla diagonale sono matrici invertibili (che sappiamo contare) e sopra la diagonale a blocchi posso mettere cosa mi pare.
Ammetto di aver cambiato un po' punto di vista sul problema, i conti che vengono fuori sono gli stessi che mi venivano fuori con l'approccio descritto nel primo post, però l'idea di azione di gruppo mi piace di più e poi secondo me fa anche capire meglio cosa si sta facendo.