Esercizio punti singolari, molteplicità e cono tg

[Samy21]

Salve,

sto cercando di risolvere questo esercizio
In $\mathbb(P)^2$ in $\mathbb(C)$ con coordinate omogenee $(x_0 : x_1 : x_2)$ sia $C$ la curva algebrica piana avente equazione $x_0^2x_1^3-x_0^2x_1x_2^2+x_0^2x_1^2x_2-x_0^2x_2^3+x_1x_2^4=0$
(a) Determinare i punti singolari di $C$, le loro molteplicità e i rispettivi coni tangenti.
(b) Determinare, se esistono, rette passanti per $O = (1 : 0 : 0)$ e tangenti a $C$ in due punti distinti.

Per calcolare i punti singolari calcolo le derivate parziali prime e ottengo il sistema

$\{(x_0x_1^3-x_0x_1x_2^2+x_0x_1^2x_2-x_0x_2^3=0),(3x_0^2x_1^2-x_0^2x_2^2+2x_0^2x_1x_2+x_2^4=0),(-2x_0^2x_1x_2+x_0^2x_1^2-3x_0^2x_2^2+4x_1x_2^3=0):}$

ed effettuando i vari conti ottengo 3 punti: $P_0=(0:1:0)$,$P_1=(0:0:1)$ e $P_2=(1:0:0)$.
Per verificare se sono tutti e tre punti singolari provvedo a sostituire i punti nelle derivate prime, se si annullano allora sono singolari (giusto?).
Facendo questo calcolo ottengo $P_0$ e $P_2$ che annullano le derivate prime mentre invece $P_1$ no quindi concluderei dicendo che non è un punto singolare.

Per calcolare la molteplicità calcolo le derivate parziali seconde e ottengo $P_0$ ha molteplicità 2 e l'equazione del cono tg è $2x_0^2=0$ mentre c'è un discorso diverso per $P_2$ perchè si annullano anche tutte le derivate seconde. Sarei tentata a calcolare le successive ma vedo che sono in $\mathbb(P)^2$ quindi posso concludere che ha molteplicità $<=2$.

Riguardo al punto b) dell'esercizio, dovrei calcolare il rango della matrice associata a C e ottenere 2, credo.

Grazie per l'aiuto.

[Samy21]

Nessuno può darmi un suggerimento per il punto b)?

[j18eos]

Nel calcolo dei punti singolari, ti sei dimenticato di imporre che tali punti debbano appartenere anche alla curva (quintica) che stai studiando.

Ancòra, nella prima equazione, puoi prendere a fattore comune \(\displaystyle x_0\), e quindi imponendo \(\displaystyle x_0=0\) cosa ottieni?

[alessio76]

Nel calcolo dei punti singolari, ti sei dimenticato di imporre che tali punti debbano appartenere anche alla curva (quintica) che stai studiando.

(Non ho controllato i conti dell'OP...) Nel proiettivo, se il grado dell'equazione non è zero nel campo (ma qui siamo sui complessi, quindi è ok), la condizione F=0 è conseguenza delle altre per l'identità di Eulero.

[alessio76]

Salve,

sto cercando di risolvere questo esercizio
In $\mathbb(P)^2$ in $\mathbb(C)$ con coordinate omogenee $(x_0 : x_1 : x_2)$ sia $C$ la curva algebrica piana avente equazione $x_0^2x_1^3-x_0^2x_1x_2^2+x_0^2x_1^2x_2-x_0^2x_2^3+x_1x_2^4=0$
(a) Determinare i punti singolari di $C$, le loro molteplicità e i rispettivi coni tangenti.
(b) Determinare, se esistono, rette passanti per $O = (1 : 0 : 0)$ e tangenti a $C$ in due punti distinti.

Per calcolare i punti singolari calcolo le derivate parziali prime e ottengo il sistema

$\{(x_0x_1^3-x_0x_1x_2^2+x_0x_1^2x_2-x_0x_2^3=0),(3x_0^2x_1^2-x_0^2x_2^2+2x_0^2x_1x_2+x_2^4=0),(-2x_0^2x_1x_2+x_0^2x_1^2-3x_0^2x_2^2+4x_1x_2^3=0):}$

ed effettuando i vari conti ottengo 3 punti: $P_0=(0:1:0)$,$P_1=(0:0:1)$ e $P_2=(1:0:0)$.
Per verificare se sono tutti e tre punti singolari provvedo a sostituire i punti nelle derivate prime, se si annullano allora sono singolari (giusto?).
Facendo questo calcolo ottengo $P_0$ e $P_2$ che annullano le derivate prime mentre invece $P_1$ no quindi concluderei dicendo che non è un punto singolare.

Per calcolare la molteplicità calcolo le derivate parziali seconde e ottengo $P_0$ ha molteplicità 2 e l'equazione del cono tg è $2x_0^2=0$ mentre c'è un discorso diverso per $P_2$ perchè si annullano anche tutte le derivate seconde. Sarei tentata a calcolare le successive ma vedo che sono in $\mathbb(P)^2$ quindi posso concludere che ha molteplicità $<=2$.

Riguardo al punto b) dell'esercizio, dovrei calcolare il rango della matrice associata a C e ottenere 2, credo.

Grazie per l'aiuto.

??? Per studiare molteplicità e coni tangenti deomogenizza, trasla il punto che ti interessa nell'origine (ma nel tuo caso ti vengono già sull'origine nelle rispettive carte affini) e fattorizza la componente omogenea di grado minimo. $P_2$ dovrebbe essere un punto triplo...(non ho controllato i conti)
Per (b) se ci fosse una tale retta....che "molteplicità di intersezione" (= in quanti punti, contati correttamente...) dovrebbe avere con la tua quintica? E' possibile?

[Samy21]

Grazie per le risposte e scusatemi il ritardo.

Nel calcolo dei punti singolari, ti sei dimenticato di imporre che tali punti debbano appartenere anche alla curva (quintica) che stai studiando.

Quando siamo in $\mathbb(P)$ non basta solo verificare che si annullino le derivate prime? Quella verifica la faccio nel caso affine dato che non vale la relazione di Eulero.

Ancòra, nella prima equazione, puoi prendere a fattore comune \(\displaystyle x_0\), e quindi imponendo \(\displaystyle x_0=0\) cosa ottieni?

Ottengo la retta di punti singolari $x_0=0=x_2$ della quale fa parte il punto $(0:1:0)$.

??? Per studiare molteplicità e coni tangenti deomogenizza, trasla il punto che ti interessa nell'origine (ma nel tuo caso ti vengono già sull'origine nelle rispettive carte affini) e fattorizza la componente omogenea di grado minimo. $ P_2 $ dovrebbe essere un punto triplo...(non ho controllato i conti)

Si infatti calcolando le derivate parziali seconde noto che nessuna si annulla quindi $P_2$ ha molteplicità 3.

Per (b) se ci fosse una tale retta....che "molteplicità di intersezione" (= in quanti punti, contati correttamente...) dovrebbe avere con la tua quintica? E' possibile?

Non ne ho la minima idea, questa parte non mi vuole proprio entrare in testa.

[alessio76]

Grazie per le risposte e scusatemi il ritardo.

Nel calcolo dei punti singolari, ti sei dimenticato di imporre che tali punti debbano appartenere anche alla curva (quintica) che stai studiando.

Quando siamo in $\mathbb(P)$ non basta solo verificare che si annullino le derivate prime? Quella verifica la faccio nel caso affine dato che non vale la relazione di Eulero.

Esatto, nel proiettivo quell'equazione è superflua (non che sia "sbagliato" aggiungerla...ma il sistema delle derivate parziali prime è equivalente).

Ancòra, nella prima equazione, puoi prendere a fattore comune \(\displaystyle x_0\), e quindi imponendo \(\displaystyle x_0=0\) cosa ottieni?

Ottengo la retta di punti singolari $x_0=0=x_2$ della quale fa parte il punto $(0:1:0)$.

??? Per studiare molteplicità e coni tangenti deomogenizza, trasla il punto che ti interessa nell'origine (ma nel tuo caso ti vengono già sull'origine nelle rispettive carte affini) e fattorizza la componente omogenea di grado minimo. $ P_2 $ dovrebbe essere un punto triplo...(non ho controllato i conti)

Si infatti calcolando le derivate parziali seconde noto che nessuna si annulla quindi $P_2$ ha molteplicità 3.

Per (b) se ci fosse una tale retta....che "molteplicità di intersezione" (= in quanti punti, contati correttamente...) dovrebbe avere con la tua quintica? E' possibile?

Non ne ho la minima idea, questa parte non mi vuole proprio entrare in testa.

Pensa di ridurti su una carta affine...quanti punti di intersezione (correttamente contati...) ci possono essere tra una retta e una curva di grado n che non abbia la retta come sua componente? Se per esempio, sapessi che la retta passa per un punto di molteplicità 2 della curva (necessariamente singolare quindi), quanti altri punti potrebbero avere ancora in comune? Generalizza...

[alessio76]

Aggiungo: perché ti fai del male con le derivate parziali seconde??? Deomogeneizzando e traslando ti viene tutto, subito e sotto il naso...il cono tangente in (0,0) ha equazione (ovviamente, dalle definizioni...) il complesso dei termini di grado minimo uguagliato a zero

[Samy21]

Aggiungo: perché ti fai del male con le derivate parziali seconde??? Deomogeneizzando e traslando ti viene tutto, subito e sotto il naso...il cono tangente in (0,0) ha equazione (ovviamente, dalle definizioni...) il complesso dei termini di grado minimo uguagliato a zero

Il prof richiede il calcolo delle derivate successive.

[alessio76]

Aggiungo: perché ti fai del male con le derivate parziali seconde??? Deomogeneizzando e traslando ti viene tutto, subito e sotto il naso...il cono tangente in (0,0) ha equazione (ovviamente, dalle definizioni...) il complesso dei termini di grado minimo uguagliato a zero

Il prof richiede il calcolo delle derivate successive.

avrà i suoi buoni motivi allora...