Dato uno spazio \( V \) come \( V = U\oplus W \), ci sono sempre degli endomorfismi \( \pi_U \) e \( \pi_W \) associati a quella decomposizione, che mappano ogni vettore \( v = u + w \) dello spazio \( V \) come
\[
\begin{align*}
\pi_U(v) &= \pi_U(u + w) = u\\
\pi_W(v) &= \pi_W(u + w) = w
\end{align*}
\] (E allora vale \( \pi_U\circ\pi_U = \pi_U \), \( \pi_W\circ\pi_W = \pi_W \); i.e., \( \pi_U \) e \( \pi_W \) sono
operatori lineari di proiezione, come trovi definito
qui).
(Dopo aver provato che ha effettivamente senso definire funzioni \( V = U\oplus W\to U \) e \( V\to W \) come ho fatto io) riesci a concludere?
p.s. Se vuoi, puoi provare la cosa per una qualsiasi decomposizione \( V = \bigoplus_{i\in I}V_i \), tanto non cambia nulla. Vedi però se riesci prima a capire da dove viene fuori il termine "proiezione", a.k.a. fatti qualche disegnino.
p.p.s Un
endomorfismo è una qualsiasi applicazione lineare \( V\to V \) di uno spazio in sé stesso.
