Mi servirebbe un aiuto col seguente esercizio:
Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo della seguente funzione reale di due variabili reali:
$$f(x,y)=(x^2−|xy|)(x^2−y^2)$$
Quello che ho fatto io intanto è dividere la ricerca dei punti stazionari di $f$ nei casi $xy>0, xy<0$ e poi studiare a parte i punti del cambiamento di legge $\overline{x}\cdot \overline{y}=0$.
Ho problemi sin dall'inizio, perché appena mi metto alla ricerca di punti stazionari nel primo caso $xy>0$, ottengo un sistema di equazioni antipatico:
\[
\begin{aligned}
\begin{cases} f_x(x,y)=0 \\ f_y(x,y)=0 \end{cases}
\end{aligned}
\quad \implies \quad
\begin{aligned}
\begin{cases}4x^3-2xy^2-3x^2y+y^3=0 \\ -2x^2y-x^3+3xy^2=0 \end{cases}
\end{aligned}
\]
L'unica cosa che son riuscito a fare è raccogliere la $x$ nella seconda equazione e procedere con la legge di annullamento del prodotto e, da una parte ottengo la soluzione $(0,0)$ che devo scartare in quanto per ora sono nel caso $xy>0$, ma dall'altra parte rimane un sistema comunque antipatico...
\begin{cases} 4x^3-2xy^2-3x^2y+y^3=0 \\x^2+2xy-3y^2=0\end{cases}
In un tentativo disperato ho provato ad esplicitare la $x$ dalla seconda equazione, ma non credo sia la cosa giusta da fare.
Ho sbagliato in partenza l'approccio all'esercizio? Se no... come affronto questo sistema?