Dubbio gradiente

[ValeForce]

Nei libri di fisica sto incontrando più volte la seguente relazione:
$$f(x+dx, y+dy, z+dz)=f(x,y,z)+\vec{\nabla} f \cdot \vec{ds} \quad \text{con} \quad \vec{ds}=(dx, dy, dz)$$
Intuitivamente capisco perché ciò vale. Ogni volta viene precisato soltanto che $\vec{ds}$ sia molto piccolo... ma nella definizione di gradiente c'è la derivata e la derivata nasconde un limite che non vedo nella relazione di prima, infatti si avrebbe:
$$\frac{f(x+dx, y+dy, z+dz)-f(x,y,z)}{\vec{ds}}= \vec{\nabla}f$$
Il mio dubbio è:
Esiste un teorema o più in generale una dimostrazione rigorosa da cui consegue la prima formula che ho scritto?
Oppure, è semplicemente una approssimazione che per "capirla" non si possono fare altri passaggi oltre quelli scritti da me e che con la frase "$\vec{ds}$ piccolo" si intenda proprio $\vec{ds} \to (0,0,0)$?

[dissonance]

Quando c'è di mezzo un "infinitesimo", la formula va letta come segue: sviluppare secondo Taylor e buttare tutti i termini di ordine superiore al primo. In questo caso, la formula è
\[
f(x+\Delta x, y+ \Delta y, z + \Delta z) = f(x,y,z)+ \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y +\frac{\partial f}{\partial z} \Delta z + O((\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2).\]
Butta via tutti i termini superiori al primo e scrivi \(dx\) in luogo di \(\Delta x\) per segnalare che stai facendo questa approssimazione.

[ValeForce]

Certo! In effetti, ora che ci penso, lo scorso anno accademico mi era stato "accennato" che andava letta in questo modo ma lo avevo completamente cancellato dalla mente...
Grazie per la risposta