somma tra vettori ortogonali

Messaggioda sararossi07 » 08/12/2019, 20:07

Buonasera a tutti.
Oggi scrivo qui perchè ho disperato bisogno di aiuto con questo esercizio, dato che lunedì avrò un esame di algebra e geometria lineare su tale argomento.
Il testo è:
Dato il sottospazio U = [formule][formule]{(x, y, z, t) ∈ R^4| x = y + z, z = x + t}, trovare U⊥.
Scrivere il vettore(1, 0, 0, 0) come somma v1 + v2, dove v1 ∈ U e v2 ∈ U⊥.
[Risp.: U ha base (1, 1, 0, −1),(0, −1, 1, 1)
e quindi U⊥ = {x + y = t, y = z + t}, v1 =1/5(3, 1, 2, −1), v2 =1/5(2, −1, −2, 1)].

La base U e la base U⊥ sono riuscita a trovarle, ma poi non capisco come si trovino v1 e v2.
Devo per caso ortonormalizzare le 2 basi prima?
Grazie per l'aiuto :D
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Re: somma tra vettori ortogonali

Messaggioda Bokonon » 08/12/2019, 23:39

In bocca al lupo per l'esame
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Re: somma tra vettori ortogonali

Messaggioda sararossi07 » 09/12/2019, 19:32

Grazie :) anche se la risoluzione dell'esercizio mi sarebbe più utile LOL
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Re: somma tra vettori ortogonali

Messaggioda Bokonon » 10/12/2019, 13:19

Ma non hai dato l'esame ieri?

Una base del sottospazio U la puoi trovare parametrizzando le equazioni cartesiane:
$ U:{( ( x ),( y ),( z ),( t ) )=alpha( ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) + beta( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( -1 ) ) $
Ora volendo puoi trovare una base di $U^(_|_)$ cercando il kernel di $ ( ( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 , -1 ) ) $
oppure semplicemente notare che $ U:{ ( x-y-z=0 ),( x-z+t=0 ):} $ significa che entrambi i piani contengono i vettori perpendicolari rispettivamente a $ ( 1 \ \ -1 \ \ -1 \ \ 0 ) $ e $ ( 1 \ \ 0 \ \ -1 \ \ 1 ) $ e quindi l'iperpiano U è perpendicolare ad essi: ergo formano una base per $U^(_|_)$.

A questo punto risolvi il sistema $ ( ( 1 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , -1 , -1 ),( 0 , -1 , 0 , 1 ) )( ( a ),( b ),( c ),( d ) )=( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ per trovare la combinazione lineare dei 4 vettori che inseme formano una base di $RR^4$ ovvero $ { ( a=2/5 ),( b=c=d=1/5 ):} $
Le prime due colonne sono la base di $U$ per cui $ v_1=2/5( ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )+1/5( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( -1 ) )=( ( 3/5 ),( 1/5 ),( 2/5 ),( -1/5 ) ) $
Le ultime due colonne sono la base di $U^(_|_)$ per cui $ v_2=1/5( ( 1 ),( -1 ),( -1 ),( 0 ) )+1/5( ( 1 ),( 0 ),( -1 ),( 1 ) )=( ( 2/5 ),( -1/5 ),( -2/5 ),( 1/5 ) ) $
$v_1+v_2=(1,0,0,0)$ e $v_1*v_2=0$
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Re: somma tra vettori ortogonali

Messaggioda sararossi07 » 10/12/2019, 21:24

Grazie mille, sei stato/a gentilissimo/a :)
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