Buongiorno a tutti!
Ho letto che il prodotto topologico di spazi topologici completamente regolari è anch'esso uno spazio topologico completamente regolare.
Con spazio topologico completamente regolare intendo: uno spazio topologico $(X,T)$ tale che, comunque fissati un suo chiuso $C$ e un suo punto $x_0 \in X \setminus C$, posso trovare una funzione $f: X \to [0,1]$ continua in $(X,T)$ e tale che $f(x_0)=0$ e $f(C)=\{1\}$.
Il problema è che non riesco a dimostrare questa asserzione, che riscrivo formalmente:
Dati $(X,T_X),(Y,T_Y)$ spazi topologici completamente regolari, ALLORA anche $(X \times Y,T_{X \times Y})$ è uno spazio topologico completamente regolare, dove $T_{X \times Y}$ è la topologia prodotto, cioè è (per definizione) la topologia avente come base $B=\{A_X \times A_Y | A_X \in T_X, A_Y \in T_Y\}$.
Io ho ragionato cosi:
Fisso un chiuso $C$ di $(X \times Y,T_{X \times Y})$ e un punto $(x_0,y_0) \in (X \times Y) \setminus C$.
Voglio dimostrare che esiste una $h: X \times Y \to [0,1]$ continua in $(X \times Y,T_{X \times Y})$ tale che $h(x_0,y_0)=0$ e $h(C)=\{1\}$.
Poiché $C$ chiuso, allora $(X \times Y) \setminus C$ è aperto nella topologia prodotto $T_{X \times Y}$, e quindi sarà scrivibile come unione di un certo numero di aperti della base $B$ di tale topologia, i quali (per definizione di topologia prodotto) hanno la forma $A_X \times A_Y$ con $A_X \in T_X$ e $A_Y \in T_Y$.
Dunque $(x_0,y_0) \in (X \times Y) \setminus C=\bigcup_{A_X \times A_Y \in B} (A_X \times A_Y)$. Dunque esiste un $A_X \times A_Y$ tale che $(x_0,y_0) \in A_X \times A_Y$, cioè $x_0 \in A_X$ e $y_0 \in A_Y$.
Pertanto individuo due chiusi che sono $C_X=X \setminus A_X$ e $C_Y=Y \setminus A_Y$ tali che $x_0 \notin C_X$ e $y_0 \notin C_Y$.
Dunque, essendo $(X,T_X)$ e $(Y,T_Y)$ completamente regolari, esisteranno due funzioni $f: X \to [0,1]$, $g: Y \to [0,1]$ continue rispettivamente in $X$ e $Y$ e tali che: $f(x_0)=0, f(C_X)=\{1\}, g(y_0)=0, g(C_Y)=\{1\}$.
Ora non so bene come procedere. Immagino che dovrei costruire la funzione $h$ (di cui ho parlato sopra) a partire da $f$ e $g$ ma non so bene come.
Grazie in anticipo per qualsiasi tentativo di aiuto! Ne ho davvero bisogno .