da Bokonon » 10/12/2019, 13:19
Ma non hai dato l'esame ieri?
Una base del sottospazio U la puoi trovare parametrizzando le equazioni cartesiane:
$ U:{( ( x ),( y ),( z ),( t ) )=alpha( ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) + beta( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( -1 ) ) $
Ora volendo puoi trovare una base di $U^(_|_)$ cercando il kernel di $ ( ( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 , -1 ) ) $
oppure semplicemente notare che $ U:{ ( x-y-z=0 ),( x-z+t=0 ):} $ significa che entrambi i piani contengono i vettori perpendicolari rispettivamente a $ ( 1 \ \ -1 \ \ -1 \ \ 0 ) $ e $ ( 1 \ \ 0 \ \ -1 \ \ 1 ) $ e quindi l'iperpiano U è perpendicolare ad essi: ergo formano una base per $U^(_|_)$.
A questo punto risolvi il sistema $ ( ( 1 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , -1 , -1 ),( 0 , -1 , 0 , 1 ) )( ( a ),( b ),( c ),( d ) )=( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ per trovare la combinazione lineare dei 4 vettori che inseme formano una base di $RR^4$ ovvero $ { ( a=2/5 ),( b=c=d=1/5 ):} $
Le prime due colonne sono la base di $U$ per cui $ v_1=2/5( ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )+1/5( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( -1 ) )=( ( 3/5 ),( 1/5 ),( 2/5 ),( -1/5 ) ) $
Le ultime due colonne sono la base di $U^(_|_)$ per cui $ v_2=1/5( ( 1 ),( -1 ),( -1 ),( 0 ) )+1/5( ( 1 ),( 0 ),( -1 ),( 1 ) )=( ( 2/5 ),( -1/5 ),( -2/5 ),( 1/5 ) ) $
$v_1+v_2=(1,0,0,0)$ e $v_1*v_2=0$