Punti equispaziati su una spirale

[Plepp]

Salve ragazzi,
vorrei disegnare una spirale ricoperta da un certo numero $N$ di dischetti i cui centri $p_i$ giacciono sulla spirale e sono alla stessa "distanza" l'uno dall'altro; più precisamente vorrei che la lunghezza della porzione di spirale che congiunge $p_i$ e $p_{i+1}$ sia la stessa per ogni $i$.

Sono partito parametrizzando la spirale come
\[
\rho(\theta)=a\theta,\quad \theta \in [0,2n\pi],\ a>0
\]
dove $n$ è il "numero di giri" ed è fisso. La lunghezza tra $0$ e $\theta$ viene una roba $s(\theta)$ proporzionale a
\[
\theta\sqrt{1+\theta^2}+\ln(\theta+\theta\sqrt{1+\theta^2});
\]
in particolare la spirale è lunga $L:=s(2n\pi)$
L'idea era quella di invertire $s(\theta)$, cioè calcolare $\theta(s)$, prendere $N$ punti equidistanti $s_i\in [0,L]$ scegliere (uso le coordinate polari)
\[
p_i:=(\rho(\theta(s_i)),\theta(s_i)).
\]

Il problema di questo approccio è che non si sa calcolare esplicitamente l'inversa di $s(\theta)$.

Come risolvere? Approccio numerico?

[Raptorista]

La funzione è piacevolmente monotona, puoi sfoderare l'artiglieria numerica senza problemi.

[Plepp]

Ciao Raptorista, cosa consigli di fare?

Altrimenti, che tu sappia, esiste una funzione di Tikz che fa ciò che mi serve?

[dissonance]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

In pratica, se si usa TikZ e si vuole disegnare un braccialetto di perline arrotolato sul tavolo, ci vuole come minimo il metodo di Newton.

[Raptorista]

Se lo vuoi fare direttamente nel disegno, non saprei.
Non conosco Tikz. Io farei prima il calcolo in un processo a parte, salverei i valori degli angoli per cui disegnare un pallino e poi li disegnerei. Quest'ultima parte forse si può fare con Tikz, se hai modo di leggere dati da un file esistente, oppure con uno script in Python o altro.

[Plepp]

Alla fine ho cambiato spirale, in modo tale che venissero conti più facili. Con la spirale logaritmica si riesce a calcolare esplicitamente $\theta(s)$.