Punto di vista attivo e passivo; matrice di cambiamento di base

Messaggioda marco2132k » 09/12/2019, 17:55

Ciao. C'è un passaggio che non riesco a comprendere. Date due basi \( \{e_i\}_{i = 1,\dots,n} \) e \( \{e_k^\prime\}_{k = 1,\dots,n} \) di un \( K \)-spazio \( L \), possiamo esprimere i vettori \( e_k^\prime \) come combinazione lineare \( e_k^\prime = \sum_i a_{ik}e_i \) dei vettori delle prima base; in modo che, detti rispettivamente \( x \) e \( x^\prime \) i vettori delle coordinate di un \( l\in L \) rispetto a \( \{e_i\} \) e a \( \{e_k^\prime\} \), risulti \( x = (a_{ik})x^\prime \).

Il mio testo dice: "The matrix \( A = (a_{ik}) \) is called the matrix of change of basis (from the unprimed to the primed basis), or from the primed to the primed coordinates. [...] We note that the formula \( x = Ax^\prime \) could also have been interpreted as a formula expressing the coordinates of the new vector \( f(x^\prime) \) in terms of the coordinates of the vector \( x \), where \( f \) is the linear mapping \( L\to L \), described by the matrix \( A \) in the basis \( \{e_k\} \). In physics, these two points of view are called "passive" and "active" respectively. In the first case, we describe the same state of the system (the vector \( l \)) from the point of view of different observers [...] In the second case, there is only one observer, while the state of the system is subjected to transformations consisting, for example, of symmetry transformations of the space of states of this system.".

Qualcuno riuscirebbe a farmi l'esegesi della parte in rosso? E a collegare tutto ciò con la parte in blu?

Sì, ovviamente mi è chiaro che la mappa \( K^n\to K^n \) come \( x\mapsto Ax \) passa le coordinate di un vettore \(
l \) rispetto ad un osservatore segnato in quelle di un osservatore non-segnato. E che - nel secondo caso - posso mandare ogni vettore \( e_i \) nel rispettivo \( e_i^\prime \) con una trasformazione lineare \( f\colon L\to L \) che avrà matrice associata uguale ad \( A \) nella base non-segnata \( e_i \). Ma il senso di fare quest'ultima operazione? (Sì, ogni vettore \( f(l) \) avrà per coordinate rispetto agli \( e_i \) esattamente le coordinate di \( l \) rispetto a \( \{e_k^\prime\} \), ma...)

edit. Sì, mancava qualche apice.
Ultima modifica di marco2132k il 10/12/2019, 12:47, modificato 1 volta in totale.
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Re: Punto di vista attivo e passivo; matrice di cambiamento di base

Messaggioda kaspar » 10/12/2019, 06:58

(Sicuro di non aver scordato qualche apice?)
Prova a chiedere nella sezione di fisica, algebra lineare fa parte del curriculum universitario dei fisici pure e sapranno i suoi usi nella fisica.
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Re: Punto di vista attivo e passivo; matrice di cambiamento di base

Messaggioda marco2132k » 10/12/2019, 12:48

(Sicuro di non aver scordato qualche apice?)
Ho corretto. Che quella \( f \) si possa valutare in \( x^\prime \) non è un errore mio. (È davvero un errore?)
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Re: Punto di vista attivo e passivo; matrice di cambiamento di base

Messaggioda dissonance » 10/12/2019, 16:01

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Secondo me non ti dovresti fissare così, anche se te lo dice uno che su questa cosa ci ha passato giornate intere. Più che teoria, qui ci vuole pratica. Dal punto di vista teorico è impossibile non confondersi tra punti di vista attivi e passivi, indici, pedici, tilde e ammennicoli vari. Ma esercitandosi, per qualche motivo si sviluppa un fiuto che porta poi a fare tutto correttamente.
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Re: Punto di vista attivo e passivo; matrice di cambiamento di base

Messaggioda marco2132k » 11/12/2019, 13:26

@dissonance Il problema è che io non capisco proprio il significato della cosa in rosso. Che vuol dire interpretare la formula \( x = Ax^\prime \) come se esprimesse le coordinate di un nuovo vettore \( f(x^\prime) \) mediante un'applicazione lineare \( L\to L \) (wft??) descritta dalla matrice \( A \) nella base degli \( e_i \)?

Che ha a che fare questo con la matrice di cambio di base?
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Re: Punto di vista attivo e passivo; matrice di cambiamento di base

Messaggioda gugo82 » 11/12/2019, 15:37

Insomma, a quanto mi pare di capire, sembra si voglia dire che puoi coordinare lo spazio di arrivo o con la nuova base (ed in tal caso, la formula fornisce un cambiamento di coordinate) oppure con la stessa base dello spazio di partenza (ed in tal caso puoi riguardare la formula come una semplice applicazione lineare di quello spazio coordinato in sé).
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Re: Punto di vista attivo e passivo; matrice di cambiamento di base

Messaggioda marco2132k » 13/01/2020, 18:59

Comunque credo che la cosa non si possa liquidare in altro modo che così. Il gruppo lineare generale è i(somorfo a)l gruppo degli automorfismi di uno spazio di dimensione sensata. Inoltre, \( \mathrm{GL}(n,K)\) è esattamente il gruppo delle matrici di cambio di base di un \( K \)-spazio di dimensione \( n \). In altre parole, un automorfismo è un cambiamento di base. Poi è un po' casino vedere "come" in astratto. Se trovo qualche esercizio che mette in luce la cosa lo posto, magari è utile alla gente.
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Re: Punto di vista attivo e passivo; matrice di cambiamento di base

Messaggioda marco2132k » 14/01/2020, 12:49

@Sergio
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ho visto che avevi scritto qualcosa (e speravo di leggerlo!). Nel caso avessi eliminato il post per fare modifiche, ti voglio segnalare che la matrice di cambio di base così definita è esattamente la matrice di cambio di base from the unprimed to the primed basis: questo perché nel testo da dove ho preso quella roba è introdotta (ma mi sembra che non la usi mai dopo ciò, o almeno spero) una moltiplicazione
\[
(e_1,\dots,e_n)
\begin{pmatrix}
a_{11} & \dots & a_{1n}\\
\dots & \dots & \dots\\
a_{n1} & \dots & a_{nn}
\end{pmatrix}
= (e_1^\prime,\dots,e_n^\prime)
\]
Allora moltiplicare le coordinate di un vettore nella base primed per \( A \) dà le coordinate dello stesso ragazzo nella base unprimed.
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Re: Punto di vista attivo e passivo; matrice di cambiamento di base

Messaggioda Sergio » 14/01/2020, 12:49

Avevo scritto una prima risposta, poi ho voluto controllare meglio alcune cosarelle. Ecco il risultato.

marco2132k ha scritto:Il mio testo dice: "The matrix \( A = (a_{ik}) \) is called the matrix of change of basis (from the unprimed to the primed basis), or from the primed to the primed coordinates. [...] We note that the formula \( x = Ax^\prime \) could also have been interpreted as a formula expressing the coordinates of the new vector \( f(x^\prime) \) in terms of the coordinates of the vector \( x \), where \( f \) is the linear mapping \( L\to L \), described by the matrix \( A \) in the basis \( \{e_k\} \).

Una matrice di cambiamento di base non è altro che la matrice associata all'applicazione identica con basi di partenza e di arrivo diverse.
Da un punto di vista strettamente matematico le due letture sono la stessa cosa (in entrambi i casi ho un vettore che rimane sempre lo stesso e di cui cambiano le coordinate). Il testo suggerisce un ulteriore punto di vista.

marco2132k ha scritto:In physics, these two points of view are called "passive" and "active" respectively. In the first case, we describe the same state of the system (the vector \( l \)) from the point of view of different observers [...] In the second case, there is only one observer, while the state of the system is subjected to transformations consisting, for example, of symmetry transformations of the space of states of this system.".

Il punto di vista "passivo" è quello appena detto: il vettore rimane quello che era (perché non lo trasformo, oppure perché lo trasformo in se stesso) e cambiano solo le sue coordinate, cioè il sistema di riferimento, come se fosse osservato da due distinti osservatori.
Dal punto di vista "attivo", invece, c'è qualcosa di più sostanziale che cambia.

Poniamoci in $R^3$ con $A=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1))$. È una matrice che cambia le coordinate rispetto alla base $\{e'_i\}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1)\}$ in coordinate rispetto alla base canonica $\{e_i\}$ e viceversa, visto che $A^{-1}=A$.
Considero il vettore $l=(1,2,3)$. Le sue coordinate rispetto a $\{e'_i\}$ sono $x'=(1,2,-3)$. Il prodotto $Ax'$ mi dà $x=(1,2,3)$, le coordinate rispetto alla base canonica.
$A$ è una normale matrice di cambiamento di base, ma posso vederla anche in un altro modo: dato il vettore $x'=(1,2,-3)$ (coincide con le coordinate rispetto alla base canonica), $Ax'$ ne effettua la riflessione rispetto al piano $z=0$.

Dal punto di vista "passivo" $A$ cambia solo le coordinate, dal punto di vista "attivo" effettua una trasformazione non identica del vettore: se tengo fissa la base, il vettore $(1,2,-3)$ viene trasformato nel vettore $(1,2,3)$.
In questo senso $x=Ax'$ è una formula che trasforma le coordinate $x'$ nelle coordinate di un nuovo vettore $f(x')$: non c'è solo il cambiamento di coordinate di uno stesso vettore. Dice proprio così: "the coordinates of the new vector $f(x')$", come se la matrice di cambiamento di base fosse la matrice associata a un'applicazione $L to L$, ferma la base ("the linear mapping $L to L$, described by the matrix $A$ in the basis $\{e_k\}$" intesa come base sia di partenza che di arrivo).

Riepilogando:
a1) quella $A$ è una matrice di cambiamento di base;
a2) $A$ può essere vista come matrice associata all'applicazione identica con basi di partenza e di arrivo diverse;
b) tenendo ferma la base, $A$ è un'applicazione $L to L$ che riflette i vettori rispetto al piano $z=0$.

Dai un'occhiata a Lang (Algebra lineare, p. 109 e seguenti). Per mostrare che una matrice associata all'applicazione identica non è la matrice identità, se le basi di partenza e di arrivo sono diverse, porta come esempio matrici di rotazione. Dal punto di vista "passivo" cambiano le coordinate perché cambiano le basi (i sistemi di riferimento), dal punto di vista "attivo" i vettori vengono ruotati.

EDIT. Aggiungo una cosa che non sapevo. Ci si potrebbe chiedere: ma quanto sopra vale per qualsiasi matrice di cambiamento di base? Qualsiasi matrice di cambiamento di base può essere vista in modo "attivo" come la matrice di una ristretta classe di trasformazioni, quali riflessioni e rotazioni?
Ho trovato (per puro caso) la risposta in un messaggio di Bokonon. Una matrice $A$ quadrata non singolare, come è sempre una matrice di cambiamento di base, può essere scomposta nel prodotto $QS$, dove $Q$ è una matrice ortogonale e $S$ una matrice simmetrica. Ogni matrice ortogonale è una trasformazione che provoca una rotazione o una riflessione, ogni matrice simmetrica riscala i vettori lungo assi ortogonali. Ogni matrice di cambiamento di base è quindi, dal punto di vista "attivo", la composizione di un ruotare/riflettere con un riscalare (v. anche qui).
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
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Re: Punto di vista attivo e passivo; matrice di cambiamento di base

Messaggioda marco2132k » 23/01/2020, 18:49

Qualsiasi matrice di cambiamento di base può essere vista in modo "attivo" come la matrice di una ristretta classe di trasformazioni, quali riflessioni e rotazioni?
Questo non lo sapevo. Grazie!

Se \( P \) è una matrice di \( \mathrm{GL}(n,K) \) per un campo \( K \), essa è esattamente la matrice \( \alpha_{\mathcal P\mathcal E_n}(1) \) associata all'identica \( 1\colon K^n\to K^n \), nelle basi \( \mathcal P \) del suo spazio delle colonne in partenza e \( \mathcal E_n \) canonica in arrivo, come dici. Già che ci sono, volevo chiedere: dato un \( K \)-spazio di dimensione \( n \), la \( P \) può ancora essere vista come la matrice dell'identica \( 1\colon V\to V \), in opportune basi? (È abbastanza inutile, ma esteticamente ha un suo perché, dai :-D )
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