Verificare che funzione non è differenziabile

[DeltaEpsilon]

L'esercizio proposto è il seguente

Verificare che la funzione \(\displaystyle f(x,y) = \sqrt[3]{x^2y} \) non è differenziabile in \(\displaystyle (0,0) \) utilizzando il teorema della derivata direzionale per le funzioni differenziabili

Volevo allora utilizzare, per esercizio, il teorema del differenziale totale: mi serve, per l'ipotesi, che f sia continua in (0,0) e che le derivate parziali fx,fy siano continue in (0,0).

(*) La funzione è continua in (0,0)

(*) Calcolo allora le derivate parziali:

\(\displaystyle f_x = \frac{2xy}{3\sqrt[3]{x^4y^2}} \)


\(\displaystyle f_y = \frac{x^2}{3\sqrt[3]{x^4y^2}} \)

In (0,0) le derivate parziali non sono proprio definite, quindi posso concludere che non sono continue


Il teorema del differenziale totale è condizione sufficiente, non necessaria. Dunque non posso affermare che f non è differenziabile.

Volendo allora utilizzare, come richiesto dall'esercizio, il teorema della derivata direzionale per le funzioni differenziabili dovrei trovare una direzione \(\displaystyle \lambda \) tale che la derivata direzionale non esiste.

Domanda: come trovo questa direzione?

[DeltaEpsilon]

Non hai verificato che sono continue e infatti non lo sono: fai i conti.
Non inserire immagini, perché vanno perse, modifica il tuo messaggio inserendo il testo a mano per favore.

Modificato il messaggio!

[DeltaEpsilon]

Ce n'è una che si vede con gli occhi, che è la direzione del vettore $(1, 1)$.

Nella direzione (1,1) mi trovo che il limite fa 1

\(\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0} \frac{f(t,t) - f(0,0)}{t} =
\lim_{t\rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{t^3}}{t} =
\lim_{t\rightarrow 0} \frac{t}{t} = 1 \)

Cosa sbaglio?

Ma se no ti basta chiederti per quali $a, b$ tali che $(a, b)$ si un versore esiste finito e non nullo $\lim_{t \to 0} \(a^2bt^3)^{1/3}/t $.

Mi piacerebbe che mi spiegassi questa cosa più in dettaglio!





.





P.S: Scusate se rispondo dopo qualche mese... consultando il regolamento di Matematicamente non ho visto nulla riguardo al necroposting e così ho deciso di rispondere anche se dopo mesi, essendo comunque la discussione ancora aperta e non poi così remota.

[dissonance]

In (0,0) le derivate parziali non sono proprio definite, quindi posso concludere che non sono continue

No. Non puoi concludere proprio nulla. Anzi, puoi concludere che il conto che hai fatto è insufficiente, e che ti tocca andare a studiare il rapporto incrementale nell'origine.

Tieni sempre a mente l'esempio fondamentale, in una sola variabile
\[
f(x)=\begin{cases} x^2 \sin \left(\frac 1 x \right), & x \ne 0, \\ 0, & x=0.\end{cases}\]
Questo esempio bisogna capirlo bene. Riflettici un po' su.

[DeltaEpsilon]

In (0,0) le derivate parziali non sono proprio definite, quindi posso concludere che non sono continue

No. Non puoi concludere proprio nulla. Anzi, puoi concludere che il conto che hai fatto è insufficiente, e che ti tocca andare a studiare il rapporto incrementale nell'origine.

Tieni sempre a mente l'esempio fondamentale, in una sola variabile
\[
f(x)=\begin{cases} x^2 \sin \left(\frac 1 x \right), & x \ne 0, \\ 0, & x=0.\end{cases}\]
Questo esempio bisogna capirlo bene. Riflettici un po' su.

Si dopo una manciata di mesi l'ho capito (il post originale è di Luglio )

Volevo più che altro capire, nell'ultimissimo messaggio da me postato, cosa sbaglio

[gugo82]

Che sbagli?

Perché, di un discorso fatto a metà si può dire qualcosa?

[DeltaEpsilon]

Ragazzi io apprezzo sempre il vostro aiuto e vi sono sempre grato, però certe volte sembra che parliamo lingue diverse, e certi post colmi di ego non aiutano per niente.

arnett mi ha suggerito che nella direzione (1,1) la derivata direzionale in (0,0) non esiste, quindi per il teorema della derivata direzionale di una funzione differenziabile si ha che la funzione non è differenziabile in (0,0) poichè sono riuscito a trovare almeno una direzione lungo la quale la derivata direzionale non esiste in (0,0)

Ora, sulla base del suggerimento di arnett, ho calcolato la derivata direzionale in (0,0) con la direzione (1,1)

\(\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0} \frac{f(t,t) - f(0,0)}{t} =
\lim_{t\rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{t^3}}{t} =
\lim_{t\rightarrow 0} \frac{t}{t} = 1 \)

e al contrario di come mi aspettavo, la derivata esiste... quindi la direzione (1,1) non va bene.

Ora, non so cosa si intende per "discorso fatto a metà"... non è un discorso, ma una domanda secca:

Cosa ho sbagliato? Perché la derivata esiste in direzione (1,1) se arnett mi ha suggerito che in quella direzione non deve esistere?

Forse mi sono espresso meglio

[dissonance]

In effetti quel discorso (un po' paternalistico, hai ragione) sul capire l'esempio non era rivolto solo a te, è che si tratta di una domanda molto ricorrente. Comunque, venendo al sodo, mi sa che non hai interpretato correttamente il suggerimento di arnett. Il teorema che dici prevede che la derivata sia uguale al prodotto scalare
\[
\nabla f(0,0)\cdot(1, 1),\]
SE \(f\) è differenziabile. Questa cosa è verificata?

[DeltaEpsilon]

Ma il teorema dice "direzione con modulo 1"... il vettore (1,1) non ha modulo 1 quindi non capisco perchè lo considerate...

[dissonance]

Quanto al modulo, è vero che c'è chi richiede modulo unitario, ma poco male. Rifai il conto con \((1/\sqrt 2, 1/\sqrt 2)\); ti dovrebbe venir fuori lo stesso risultato di prima, ma moltiplicato per \(1/\sqrt 2\). E adesso tocca andare a vedere se è verificato il teorema.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Quel tuo rivolgersi a "noi", mi fa pensare che tu creda che siamo una organizzazione, e siamo tutti d'accordo. Non è assolutamente così, siamo un forum di amatori e siamo qui solo per discutere e crescere insieme.