Estremi in un insieme (funzione a due variabili)

Messaggioda DeltaEpsilon » 11/12/2019, 18:45

Determinare gli estremi della funzione \(\displaystyle f(x,y) = x^2y \) in \(\displaystyle Z = \left \{ x^2+y^2 = 1 \right \}
\)

1) Cerco tutti quei punti in cui il gradiente si annulla e che allo stesso tempo appartengono a Z
\(\displaystyle
\left\{\begin{matrix}
f_x = 2xy
\\
f_y = x^2
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
(0,0) \notin Z \)

dunque non considero il punto (0,0)

2) Cerco tutti quei punti di non differenziabilità

\(\displaystyle f(x,y) \) è differenziabile ovunque, dunque non ci sono punti da considerare

3) Punti critici sulla frontiera

\(\displaystyle \partial Z = \left \{x^2+y^2 = 1 \right \} \)

esplicito rispetto a x

\(\displaystyle
x^2 = 1-y^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{1-y^2} \) che ha senso per \(\displaystyle y \in [-1,1] \)

allora la funzione sulla frontiera di Z diventa in funzione di y

\(\displaystyle
g(y) = (1-y^2)y = y-y^3 \)

la cui derivata \(\displaystyle g'(y) \) si annulla in \(\displaystyle y = \frac{1}{\sqrt{3}} \in [-1,1] \)

Valuto allora g(y) nei seguenti valori di y:

\(\displaystyle g \left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right ) = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}^3} \)

\(\displaystyle g(1) = 0 \)

\(\displaystyle g(-1) = 0 \)

I punti sono dunque \(\displaystyle (0,1) \) \(\displaystyle (0,-1) \) e \(\displaystyle

\left (

\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}^3}, \frac{1}{\sqrt{3}}

\right )

\)

Ma quando disegno la funzione con la relativa frontiera su Geogebra non mi trovo con il risultato ottenuto

Immagine

Cosa ho sbagliato?

Grazie in anticipo!
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Re: Estremi in un insieme (funzione a due variabili)

Messaggioda pilloeffe » 11/12/2019, 22:08

Ciao DeltaEpsilon,

Mi risulta che la funzione dispari $z = g(y) = (1 - y^2)y $ abbia un massimo nel punto $M(1/sqrt3, 2/(3 sqrt3)) $ ed un minimo nel punto $L(- 1/sqrt3, - 2/(3 sqrt3))$ ed inoltre si ha $g(-1) = g(0) = g(1) = 0 $.
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Re: Estremi in un insieme (funzione a due variabili)

Messaggioda DeltaEpsilon » 11/12/2019, 23:41

pilloeffe ha scritto:Ciao DeltaEpsilon,

Mi risulta che la funzione dispari $z = g(y) = (1 - y^2)y $ abbia un massimo nel punto $M(1/sqrt3, 2/(3 sqrt3)) $ ed un minimo nel punto $L(- 1/sqrt3, - 2/(3 sqrt3))$ ed inoltre si ha $g(-1) = g(0) = g(1) = 0 $.


Ti ringrazio per la gentile risposta.

Cosa c'è che non va nel mio modo di procedere? Ho cercato dove la derivata prima si annulla, e ho inoltre valutato gli estremi.

Dov'è l'intoppo?
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Re: Estremi in un insieme (funzione a due variabili)

Messaggioda pilloeffe » 12/12/2019, 00:30

DeltaEpsilon ha scritto:Ho cercato dove la derivata prima si annulla

Cerca meglio... :wink:
Dove si annulla $g'(y) = 1 - 3y^2 $? O meglio ancora, quando $ g'(y) = 1 - 3y^2 >= 0 $?
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Re: Estremi in un insieme (funzione a due variabili)

Messaggioda DeltaEpsilon » 12/12/2019, 01:25

pilloeffe ha scritto:Cerca meglio... :wink:

Come un cetriolo ho dimenticato \(\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{3}} \) :smt012

Il problema è che Geogebra mi dice che i punti che mi son trovato (quelli che hai scritto anche tu nel tuo messaggio) si trovano all'interno dell'insieme Z e non sulla frontiera...

Immagine

La zona rossa è la frontiera, quella celeste è la funzione in due variabili... i due pallini blu sono il punto di massimo e di minimo... ma stanno dentro Z!

Ma come?!

Io li stavo studiando sulla frontiera...
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Re: Estremi in un insieme (funzione a due variabili)

Messaggioda pilloeffe » 12/12/2019, 07:45

DeltaEpsilon ha scritto:Ma come?!

Io li stavo studiando sulla frontiera...

Occhio che hai trovato $y$ e $z$, non $x$... :wink:
Poi sai che $x^2 = 1 - y^2 \implies x^2 = 2/3 $, infatti si ha:

$ (\pm sqrt{2/3})^2 + (\pm 1/sqrt{3})^2 = 1 $
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Re: Estremi in un insieme (funzione a due variabili)

Messaggioda DeltaEpsilon » 12/12/2019, 12:13

pilloeffe ha scritto:Occhio che hai trovato $y$ e $z$, non $x$... :wink:


Grande, apposto!

Grazie!

Immagine

:wink:
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