Ancora dubbi sull'assenza di memoria

Messaggioda mobley » 12/12/2019, 15:42

Apro questo post sperando (tramite l'esempio che vi porto) di capire una volta per tutte come e quando applicare la proprietà di mancanza di memoria.

Un ladro dilettante valuta se riuscirà o meno a rubare in un certo negozio. I poliziotti passano fuori dal negozio secondo un processo di Poisson di tasso $\lambda$ al minuto. Se un poliziotto passa mentre il ladro sta rubando, questo verrà catturato.
a) se ci vogliono $s$ secondi per commettere un furto, qual'è la probabilità che il ladro venga catturato?
b) Ripeti il calcolo sotto l’ipotesi che occorrano due poliziotti presenti per poter arrestare il ladro.


Il punto b) manco l'ho guardato, mi sono concentrato a capire il punto a). Allora…
Fissato $T={$il ladro viene arrestato$}$ e $X={$tempo di passaggio dei poliziotti$}$, inizialmente avevo fatto:
$\mathbb(P)(T>0)=\mathbb(P)(X>s)=1-\mathbb(P)(X<=s)=1-[\mathbb(P)(X=s) uu \mathbb(P)(X<s)]=…$
Siccome $X~ Po(\lambda)rArr S(X)={\mathbb(N)}rArr \mathbb(P)(X<s)=O/ $ e poiché minuti$=s/60$secondi:
$...=1-\mathbb(P)(X=s)=1-(e^(-s/60)(s/60)^s)/(s!)$

Poi ho pensato che, in realtà, l'istante di inizio della rapina è un $t$ generico (nel senso che la rapina avviene nell'intervallo $(t,t+s)$), per cui non conta l'istante di inizio (e quindi per questo potrei anche assumere che $t=0$). Ciò significa che interviene la stramaledettissima assenza di memoria.
Quindi come cambia la soluzione che avevo scritto all'inizio?
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Dopo quasi due mesi solo su 'sta materia gli esercizi riesco ad impostarli quasi tutti, tranne quelli con la Poisson. Questi mi mettono sempre in crisi maledizione :evil:
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Re: Ancora dubbi sull'assenza di memoria

Messaggioda tommik » 12/12/2019, 16:34

mobley ha scritto:
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Dopo quasi due mesi solo su 'sta materia gli esercizi riesco ad impostarli quasi tutti, tranne quelli con la Poisson. Questi mi mettono sempre in crisi maledizione :evil:


mettiamola così: l'esercizio in questione NON è sulla poisson si può anche risolvere senza la poisson

mobley ha scritto:Quindi come cambia la soluzione che avevo scritto all'inizio?


intendi dire come cambia la soluzione mettendoci quella corretta? pensa, ad esempio, che il tempo per commettere un furto sia pari a $10pi$ secondi....tu cerchi di risolvere l'esercizio con una distribuzione discreta....it doesn't make sense!
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Re: Ancora dubbi sull'assenza di memoria

Messaggioda mobley » 12/12/2019, 16:57

tommik ha scritto:mettiamola così: l'esercizio in questione NON è sulla poisson

Intendevo gli esercizi su tempi di attesa, assenza di memoria, Poisson ed Esponenziali etc.
tommik ha scritto:tu cerchi di risolvere l'esercizio con una distribuzione discreta....it doesn't make sense!

Giusto :roll: Ma allora non capisco... $X$ è discreta, non è un Esponenziale.
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Re: Ancora dubbi sull'assenza di memoria

Messaggioda ghira » 12/12/2019, 17:01

Quanti poliziotti passano mentre il ladro sta commettendo il furto? Cioè qual è la distribuzione del numero di poliziotti che passano durante il furto?
Ultima modifica di ghira il 12/12/2019, 19:46, modificato 1 volta in totale.
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Re: Ancora dubbi sull'assenza di memoria

Messaggioda mobley » 12/12/2019, 17:09

ghira ha scritto:Quanti poliziotti passano mentre il ladro sta rubando il quadro? Cioè qual è la distribuzione del numero di poliziotti che passano durante il furto?

Non lo so e onestamente non capisco nemmeno l'utilità di stabilirlo. Qui stiamo cercando la probabilità che il tempo per mettere a segno il furto sia maggiore del tempo limite $s$, a cosa serve stabilire il numero di poliziotti che passano?
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Re: Ancora dubbi sull'assenza di memoria

Messaggioda ghira » 12/12/2019, 17:12

Tempo limite? Se ho capito bene il furto dura esattamente $s$ secondi.
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Re: Ancora dubbi sull'assenza di memoria

Messaggioda tommik » 12/12/2019, 17:15

Il tempo di interarrivo fra un poliziotto e l'altro è distribuito come un'esponenziale di media $1/lambda$ minuti, ovvero $60/lambda$ secondi. Quindi la probabilità che il ladro venga catturato è che il tempo di interarrivo fra un poliziotto e l'altro sia minore di $s$ secondi. In pratica $mathbb{P}[X<s]=1-e^(-lambda s/60)$

fine del punto a)

Per il punto b) uso una distribuzione di Erlang trovando subito (la CDF è nota)


$F_(t_2)(s)=1-e^(-(lambda s)/60)[1+(lambda s)/60]$

@ghira tu avresti fatto diversamente?
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Re: Ancora dubbi sull'assenza di memoria

Messaggioda ghira » 12/12/2019, 17:17

Avrei detto in $s$ secondi il numero di poliziotti è distribuito secondo una Poisson con parametro $\frac{s\lambda}{60}$.

Nella prima versione, se passano 0 poliziotti, il ladro ce la fa. Viene catturato con probabilità $1-P(0 \text { poliziotti in }s\text{ secondi})$

Nella seconda versione, ce la fa se passano meno di 2 poliziotti altrimenti viene arrestato.
Ultima modifica di ghira il 12/12/2019, 17:24, modificato 5 volte in totale.
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Re: Ancora dubbi sull'assenza di memoria

Messaggioda tommik » 12/12/2019, 17:22

mi pare sensato.

Quindi il ladro ce la fa se

$mathbb{P}[X=0]=e^(-lambda s/60)$

e quindi non ce la fa con probabilità $1-mathbb{P}[X=0]$


come la metti la metti il risultato è il medesimo

:smt023

@mobley: ora hai due strade differenti per arrivare al medesimo risultato....

mobley ha scritto:
$...=1-\mathbb(P)(X=s)=1-(e^(-s/60)(s/60)^s)/(s!)$



certo che sto $s!$ al denominatore fa venire i brividi... :smt068
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Re: Ancora dubbi sull'assenza di memoria

Messaggioda ghira » 12/12/2019, 17:27

Non stavo certamente dicendo che tommik si sbagliava, solo che la mia prima reazione vedendo la domanda era "Poisson con parametro bla".
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