Una disuguaglianza

Messaggioda arnett » 13/12/2019, 18:15

È probabilmente qualcosa di ovvio, ma è tutto il giorno che cerco di provare che
per ogni $a, b \ge 0$ e per ogni $n\ge 1$ risulta
$|a-b|^n\le 2^n (a^n+b^n)$
.


Qualcuno ha suggerimenti? Grazie.
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Re: Una disuguaglianza

Messaggioda tommik » 13/12/2019, 18:41

farei così:

1) se $a<b$ riscrivo la cosa così

$((b-a)/2)^n<=a^n+b^n$

dato che $(b-a)/2<=b$ varrà anche $((b-a)/2)^n<=b^n$ ed a maggior ragione varrà anche la disuguaglianza proposta, essendo $a^n>=0$

2) se $a>b$ stessa cosa...dato che $(a-b)/2<=a$ ecc ecc

3) se $a=b$ è ovvio.
Gurdulù ha ingurgitato una pinta d'acqua salata prima di capire che non è il mare che deve stare dentro a lui ma è lui che deve stare nel mare
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Re: Una disuguaglianza

Messaggioda Bokonon » 13/12/2019, 19:51

Sarà poco elegante ma...per $a>=b$ pongo $k=a-b rArr a=k+b$
Sostituendo $k^n<=2^n[(k+b)^n+b^n]$ da cui, sviluppando, si ottiene $k^n(2^n-1)+P>=0$
dove $P>=0$ mi risparmia di scrivere la sommatoria di tutti i prodotti interni + $2b^n$
Il primo membro è sempre positivo oppure zero per $a=b=0$

Discorso analogo per $b>=a$
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Re: Una disuguaglianza

Messaggioda arnett » 13/12/2019, 20:20

Grazie a entrambi, in effetti $n$ non è necessariamente naturale, avrei fatto meglio a chiamarlo diversamente, e la dim. di tommik funziona anche se $n$ non sta in $\NN$.
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Re: Una disuguaglianza

Messaggioda obnoxious » 13/12/2019, 20:42

Puoi vederla anche come una versione indebolita e (molto) particolare della disuguaglianza di Clarkson.

In realtà mi sa che Clarckson usa proprio una disuguaglianza simile per provare la sua... se ti interessano i dettagli, qui.
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Re: Una disuguaglianza

Messaggioda gugo82 » 13/12/2019, 23:35

arnett ha scritto:È probabilmente qualcosa di ovvio, ma è tutto il giorno che cerco di provare che
per ogni $a, b \ge 0$ e per ogni $n\ge 1$ risulta
$|a-b|^n\le 2^n (a^n+b^n)$
.


Qualcuno ha suggerimenti? Grazie.

La disuguaglianza è simmetrica ed è vera per $a=b$, dunque basta provarla sotto l’ipotesi $a>b>=0$.

Dividendo m.a.m. per $a$ e ponendo $x=b/a$, si ottiene $(1-x)^n <= 2^n (1+x^n)$, sicché basta dimostrare che $phi(x) = 2^n (1+x^n) - (1 - x)^n >=0$ per $0<=x<1$.
Derivando si trova $phi’(x) = 2^n n x^(n-1) + n (1-x)^(n-1) >0$, quindi $phi(x)$ cresce in $[0,1[$ e da ciò segue $phi(x) >= phi(0) = 2^n - 1 > 0$ per ogni $n>0$; dunque hai addirittura la disuguaglianza forte $2^n (1+x^n) > (1 - x)^n$ che implica:

$|a-b|^n < 2^n (a^n + b^n)$.
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OT che gira e se ne va

Messaggioda dissonance » 16/12/2019, 10:47

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
@arnett:

Chiedo scusa per entrare così nella discussione, però è da tanto che te lo volevo chiedere: ma chi è che scruta, poi gira e se ne va?

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Re: Una disuguaglianza

Messaggioda jinsang » 16/12/2019, 11:06

Un altro modo ancora potrebbe essere questo:
Siccome $a,b>=0$ ho $|a-b|<=a+b$.
Inoltre vale la disuguaglianza $(a/2+b/2)^n<=a^n/2+ b^n/2$ per convessità della funzione $f(x)=x^n$ (con $n >= 1$).
Riorganizzando si ottiene qualcosa di migliore della disuguaglianza voluta, ovvero:
\[|a-b|^n \leq (a+b)^n \leq 2^{n-1}(a^n+b^n)\]
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Re: OT che gira e se ne va

Messaggioda arnett » 17/12/2019, 10:57

Ma in realtà poi mi sono imbattutto in una dimostrazione facilissima di questo fatto, che poi è l'ennesima riformulazione di ciò che tommik diceva: dati $a$ e $b$ in $\RR$, \[|a+b|\le 2 \max\{|a|, |b|\}.\] Da qui si conclude facilmente e forse a mettermi in difficoltà era proprio il fatto che è una disuguaglianza molto molto larga.
(Ma non inutile: per esempio prova che $L^p$ è spazio vettoriale senza usare Minkowski).

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
dissonance ha scritto:@arnett:
Chiedo scusa per entrare così nella discussione, però è da tanto che te lo volevo chiedere: ma chi è che scruta, poi gira e se ne va?
Ogni volta che lo leggo mi viene da ridere


Un torpediniera per l'esattezza. Viene da una poesia di Sereni, parla di attesa, futuro e incertezza. perdonatemi l'immagine, non ne trovo in rete una versione tipografata decentemente.

Immagine
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Re: Una disuguaglianza

Messaggioda dissonance » 17/12/2019, 18:03

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Una bellissima poesia. Io invece pensavo a un cane, che scruta in un anfratto annusandolo, poi gira, ci fa su la pipì, e se ne va. Una immagine completamente diversa.
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