Base funzionale per funzione scalare di matrici simmetriche

[Reyzet]

Sia A matrice simmetrica reale (3x3, per semplicità ma penso valga pure nxn), e sia $\phi$ una sua funzione scalare isotropa, cioè tale che $\phi(A)=\phi(Q^TAQ)$ per ogni Q matrice di trasformazione ortogonale (cioè tale che $Q^T=Q^-1$). Provare che una tale $\phi$ dipende in realtà solo da $tr(A),tr(A^2),tr(A^3)$, ovvero $\phi(A)=\phi(tr(A),tr(A^2),tr(A^3))$(l'uguaglianza penso non sia funzionale ma solo numerica, e questo set di scalari è una cosiddetta base funzionale della funzione scalare).
Intanto immagino si intendesse che la $\phi$ ha come dominio tutte le matrici simmetriche, e non solo A.
Comunque ho fatto così: dal teorema spettrale trovo che $A$ è simile tramite una certa F ortogonale alla matrice $D=diag(a_{1},a_{2},a_{3})$ (con $a_{i}$ autovalori reali di A), allora la funzione dipende solo da questi autovalori essendo lo scalare $\phi(A)=\phi(F^-1AF)=\phi(D)$ (la F viene cancellata per la proprietà di isotropia).
Ora si vede che $tr(A)=a_{1}+a_{2}+a_{3}$ e che $A^2$(risp. $A^3$) è simmetrica e ha come autovalori gli $a_{i}$ elevati al quadrato(risp. cubo), con traccia data dalla somma di questi.
Allora il sistema $a_{1}^j+a_{2}^j+a_{3}^j=tr(A^j)$, j=1,2,3 dovrebbe restituire, se risolubile (e immagino lo sia), delle relazioni tra gli autovalori e le 3 tracce, rendendo di fatto la funzione dipendente solo da queste.

Il sistema non riesco a risolverlo, ho trovato alcune relazioni che sono peraltro i coefficienti del polinomio caratteristico di A se non sbaglio, penso c'entri qualche proprietà dei polinomi simmetrici però.
Comunque il ragionamento ha senso fino a qui?

[Reyzet]

Vabbè comunque si faceva così, e per risolvere il sistema si usano delle relazioni sui polinomi simmetrici (di Newton).