Isomorfismo

Messaggioda giuggiole » 11/12/2019, 12:00

Ho questo problema:
Sia V = R2[x] × R2[x]. Trovare tutti gli n per cui V è isomorfo a Rn[x].

La dimensione di V dovrebbe essere 9 perche R2[x] ha cardinalità 3, quindi 3x3 = 9.
Due spazi vettoriali sono isomorfi se hanno la stessa dimensione, quindi V è isomorfo a Rn[x] se n = 8??
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Re: Isomorfismo

Messaggioda Gabrio » 14/12/2019, 18:57

Mi sembra giusto
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Re: Isomorfismo

Messaggioda gugo82 » 14/12/2019, 22:03

Gabrio ha scritto:Mi sembra giusto

Ma anche no…

Da quando in qua esistono solo tre polinomi in $RR_2[X]$?
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Re: Isomorfismo

Messaggioda Gabrio » 14/12/2019, 22:16

$ 1,x, x^2.... No $!?!
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Re: Isomorfismo

Messaggioda Leonardo97 » 14/12/2019, 22:39

Scusate ma non valeva che $\dim(V \times W)=\dim V+\dim W$?
In tal caso:
\[\dim (\mathbb{R}_2[x] \times \mathbb{R}_2[x])=\dim(\mathbb{R}_2[x])+\dim(\mathbb{R}_2[x])=3+3=6\]
Ricordo che la dimensione di uno spazio vettoriale è la cardinalità di una qualsiasi sua base, non il numero di vettori che contiene.
In questo caso $\mathbb{R}_2[x]$ (come già detto) ha base canonica $\{1,x,x^2\}$ contenente 3 elementi appunto.
Per $n$ che va a infinito siamo tutti morti.
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Re: Isomorfismo

Messaggioda gugo82 » 14/12/2019, 23:46

Gabrio ha scritto:$ 1,x, x^2.... No $!?!

Che sono notoriamente gli unici tre polinomi in $RR_2[X]$, eh?

Cfr.:
giuggiole ha scritto:R2[x] ha cardinalità 3
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Re: Isomorfismo

Messaggioda Gabrio » 14/12/2019, 23:49

Hai ragione, ho guardato male (3x3 era 3+3)
Ultima modifica di Gabrio il 14/12/2019, 23:52, modificato 1 volta in totale.
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Re: Isomorfismo

Messaggioda gugo82 » 14/12/2019, 23:51

Se non leggi…
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