@thinker
penso sia meglio continuare qui, sperando di non essere interrotti .
Non ha importanza la distanza tra Caio e Sem, purché rimanga costante. PER esempio, bastano anche solo $180m$ . Allora supponiamo che Caio e Sem siano in un treno di lunghezza propria $L'$ ( le grandezze con apice si riferiscono al riferimento mobile $S'(t',x') $ , quelle senz'apice al riferimento fisso $S(t,x)$ , in cui si trova l'osservatore $O$ .
A un certo momento, Caio, che si trova in coda, accende una torcia : chiamo $A$ questo evento. La luce arriva a Sem, che si trova in testa : chiamo $B$ quest'altro evento. Disegno due diagrammi di Minkowski, allegati in basso, in cui metto $A$ nella comune origine delle coordinate: evidentemente le coordinate di $A$ sono nulle , sia per $S$ che per $S'$ . L'evento B si trova , spazialmente, in testa treno, quindi $x'_B = L'$ ; il tempo proprio in cui avviene B è : $t'_B = (L')/c$. E con questo, la tua domanda ha la sua risposta.
MA ora ci interessa trovare le coordinate dell'evento $B$ anche rispetto ad $O$ , quindi dobbiamo determinare come s trasformano spazio e tempo, passando dal riferimento mobile $S'$ al riferimento fisso $S$ . Si tratta delle trasformazioni inverse di Lorentz :
$ct = gamma(ct' +betax') $
$x = gamma (x'+betact')$
applicando queste trasformazioni inverse ai due eventi $A$ e $B$ , si trova che $A$ ha coordinate nulle in $S$ , come già detto . Per le coordinate di $B$ , si ha :
$beta = 1/3$ , per cui : $gamma = 3/(2sqrt2) = 1.06066...$
$x_B = gamma (L' + 1/3c(L')/c) = ...sqrt2 * L'$
$ct_B = gamma (c(L')/c + betaL') = ...sqrt2 L'$ , da cui : $ t_B = sqrt2*t'_B$
e c'era da aspettarsi questa simmetria nei risultati di spazio e tempo, vista la simmetria delle due figure sul diagramma di Minkowski , qui riportate :
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
ho disegnato due volte il diagramma di Minkowski la prima riferita al sistema $S$ in cui O è in quiete , e il treno lungo $L'$ è in moto da Sn a Ds , con velocità $v= beta*c$ ; la seconda riferita al sistema $S'(t',x')$ , in cui il treno è considerato fermo e il riferimento $S$ si muove, rispetto ad esso, da Ds a Sn , con velocità relativa $-v$ .
Questo è quanto, Thinker. Forse per te la seconda parte, cioè il calcolo delle coordinate dell'evento B nel riferimento $S$, è un po' difficile, ma non conosco altro mezzo per risolvere.
In quanto sopra, non si prende in considerazione il tempo che occorre ad $O$ per "guardare" col suo cannocchiale l'evento $B$ . In RR, contano gli eventi e le loro coordinate spazio temporali, non i tempi di percezione dei segnali da parte degli osservatori, a meno che non vengano espressamente richiesti. Ecco perchè basta anche solo una distanza di 180 m , o comunque piccola, tra Caio e Sem . Pensare a 1800000 km tra i due fa sembrare assurdo che un osservatore O possa "vedere" ciò che succede alla luce della torcia . Naturalmente i tempi saranno nanosecondi e non secondi. Se hai domande, fatti pure avanti.
We look for patterns when we are hungry or threatened, rather than bored. I don't think we needed to think about things when we were in standby mode in the ancient past.