due spire circolari

[ludwigZero]

Il problema ha questa figura:


la spira grande ruota con momento angolare $\omega$ attorno al proprio asse,
la spira piccola ha induttanza L e una resistenza R
al tempo t=0 la spira grande viene rallentata uniformemente in t=0,1s
vuole sapere:
1) la corrente nella psira piccola con L=0
2) la corrente nella spira piccola con L=un numero
3) energia magnetica totale
4) la forza che si scambiano le due spire
5) corrente della spira piccola ad un tempo T


parto dal primo punto 1) la corrente nella psira piccola con L=0
1) scrivo la legge oraria del moto circolare uniforme..
$\omega = (\theta_1 - \theta_0)/(t_1 -t_0) =(\theta_1 - \theta_0)/t_1$

la corrente nella spira piccolina dovrei scrivere un circuito, dato che L=0, c'è solo la resistenza..
$f = R I$
ma la $f = - d\(phi(B))/dt$
quindi dovrei trovare la B della spira piccola come se l'altra non ci fosse?
2) qui dovrei scrivere il circuito con la induttanza, e ci dovrebbe essere mutua induzione?

[mgrau]

Non ci capisco niente. Perchè dovrebbe accadere un qualsivoglia fenomeno elettromagnetico? Di quale B parli, di quale corrente?
Non è che hai dimenticato di dirci qualcosa di importante?

[ludwigZero]

scusa, il testo completo è questo:



se la spira grande si sta fermando, avrà una variazione di corrente, giusto?
questo influisce sulla spira piccola, facendole variare il flusso magnetico e quindi in esso si genera una corrente $I_2$
per la spira piccola, io avrei usato la $f.e.m = (d\phi(B))/dt = L dI/dt$ ma dato che L= 0, la $f.e.m =0$
per la spira piccola inoltre dovrei scrivere un'equazione al circuito dato ha una resistenza R ...
dov è che sbaglio?

[RenzoDF]

... se la spira grande si sta fermando, avrà una variazione di corrente, giusto?

Giusto.

... questo influisce sulla spira piccola, facendole variare il flusso magnetico e quindi in esso si genera una corrente $I_2$...

Sì, come conseguenza della fem indotta dal primo circuito.

... per la spira piccola, io avrei usato la $f.e.m = (d\phi(B))/dt = L dI/dt$ ma dato che L= 0, la $f.e.m =0$

No, non confondere la fem mutuamente indotta da quella autoindotta, la prima è dovuta alla mutua induzione, ovvero all'accoppiamento magnetico fra i due circuiti, quantificato dal coefficiente $M$ di mutua induzione, la seconda all'autoinduzione del secondo circuito con relativo coefficiente $L$.

Nel caso di $L=0$, avrai solo fem di mutua induzione, nel secondo caso con \(L= 1 \ \mu\text{H}\), dovrai invece considerarle entrambe.

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La spira carica rotante può ritenersi equivalente ad una spira ferma percorsa da una corrente; devi solo determinare questa corrente $i(t)$ in funzione del tempo e scrivere il campo magnetico associato $B(t)$ nel centro della spira grande che, visto che \(d \ll a \), sarà approssimabile a quello normale all'intera superficie della spira piccola (visto che \(b \ll a \) ), permettendoti di determinare in modo semplice il flusso concatenato con la stessa e da questo, via "regola del flusso", la fem indotta.
A questo punto dovrai distinguere i due casi con $L=0$ e con $L= 1\ \mu\text{H}$: nel primo caso per determinare la corrente basterà la legge di Ohm, nel secondo dovrai considerare la salita/discesa esponenziale, con costante di tempo \(L/R\), caratteristica dei circuiti ohmico-induttivi.

[ludwigZero]

il flusso concatenato nel centro della spira piccola è:
$\phi_conc=B*S= (\m_0 I(t))/(2b) * \pi*b^2$

la $f.e.m = d\phi_con/(dt)$

con $dt = t_1 - t_0 = t_1$

la fem nella spira piccola è $fem=RI(t)$
quando L=0, mentre quando L Ddiverso da 0:
dato che la corrente varia:
$\phi_conc = L I(t) + R I(t)$ (che uso nella seconda)
che va a eguagliarsi alla fem trovata prima.

l'energia magnetica del sistema non so se ho bisogno dell'integrale ...
perchè farei U= (Potenza) x (variazione di tempo)

ma la potenza dovrebbe venire sia dalla resistenza che dalla L?

[RenzoDF]

Premesso che dovresti rivedere sia la forma che i contenuti¹ della tua risposta, vorrei precisare che nel mio post, con $i(t)$, intendevo riferirmi alla corrente nella spira rotante sinistra (grande), ricavabile dai dati.
Per distinguerla puoi chiamarla $i_1(t)$² ; vuoi provare a scriverla questa funzione del tempo?

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Note

1. Vedi per esempio quantità infinitesima uguagliata a quantità finita e incongruenza dimensionale nella successiva relazione per il flusso concatenato. ↑
2. Mentre la corrente nella spira destra (piccola) possiamo indicarla con $i_2(t)$. ↑

[ludwigZero]

Quindi applico la definizione di corrente:
$i_1(t) = q/T$
ma $q = \lambda * S= \lambda * \pi * a^2$
T periodo del moto circolare --> $T= 2 \pi/(\omega)$

quindi il flusso concantenato della spira grande:
$\phi_c = B(t)*S = (\mu_0 * i_1(t))/(2a) * \pi * a^2$

e la $fem = (\phi_c)/(t_1 - t_0) = R i_2(t)$
(qui con L=0)

mentre con L diverso da 0, diventa un circuito RL:
$fem = R i_2(t) + L (di_2(t))/dt$
va meglio?

[RenzoDF]

Mah, come forma sì, ma non vedo ancora esplicitata questa $i_1(t)$, e vedo ancora una grave incongruenza dimensionale, oltre ad una strana modalità di calcolo della forza elettromotrice.

PS: Per aiutarti nella soluzione (e cercare di concludere il discorso entro il 2019 ), aggiungo alcune considerazioni (da guardare solo in caso di estrema necessità ): ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Visto che la velocità angolare scende linearmente nel tempo, annullandosi al tempo 0.4 us, così anche la corrente, il campo magnetico e il flusso presenteranno la stessa discesa lineare e di conseguenza la fem indotta nella seconda bobina sarà costante nel tempo nell'intervallo \(0<t<0.4 \ \mu \text{s}\) e nulla per $t>0.4 \ \mu \text{s}$, di conseguenza la corrente $i_2(t)$ sarà costante nel caso di induttanza nulla e variabile (con iniziale salita e successiva discesa esponenziale, vedi tua eq. diff.); questo ti permetterà di rispondere facilmente ai quesiti a) b) ed e).

Per il quesito c) c'è da intuire cosa avesse in mente l'estensore parlando di "energia magnetica del sistema", in quanto, mancando il coefficiente di autoinduzione della prima spira, non sarebbe possibile dare risposta; non ci resta quindi che interpretarla in diverso modo, ovvero come "energia magnetica di interazione" fra i due circuiti, associata al loro accoppiamento e determinabile con la classica relazione \(U=-\vec \mu \cdot \vec B\), oppure via coefficiente di mutua induzione $\abs{U}=Mi_1i_2$.

Per il quesito d) le cose si complicano ulteriormente in quanto per determinare la forza fra le due spire dobbiamo necessariamente far entrare in gioco la distanza $x=d$ fra le stesse, ovvero dovremo riscrivere il campo magnetico $B$¹e di conseguenza l'energia $U$ come funzioni di $x$ (e dei valori delle due correnti all'istante $t=0.2 \ \text{s}$), per poi ricavare la forza richiesta dall'altra classica relazione \(\vec F=-\vec \nabla U\).

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Note

1. Usando la formula non approssimata per il campo lungo l’asse. ↑

[ludwigZero]

La velocità angolare si deve annullare ad un tempo t =0.4 us quindi:
$\omega = \omega_0 + \alpha t = 0$

da cui metto dentro t ed \omega_0 che conosco mi ricavo alpha (che è negativa)
e dunque la legge di $\omega$ che varia con t.

Ma nel periodo T, non ci va la legge di $\omega$ mi sa, ma solo $\omega_0$ quindi $T= (2\pi)/\omeg_0a$

la carica della spira, l'ho sbagliata, ho messo l'area della spira e non la circonferenza che è $C = 2 \pi a$

quindi la corrente $\i_1(t) = Q/T = (\lambda 2 \pi a * \omega_0)/(2 \pi)$
per il flusso quindi sara' qualcosa del tipo $\phi_c = k \omega(t)$ ?


per la domanda c) ho chiesto al prof. e mi ha detto di usare la sola energia di interazione.

[RenzoDF]

Per la parte iniziale della tua risposta, che per ora non commento¹, cerca di rivederla e di essere più preciso.

... per la domanda c) ho chiesto al prof. e mi ha detto di usare la sola energia di interazione.

Certo che potevano anche specificarlo nel testo, ... altrimenti all'esame dobbiamo portarci anche la sfera di cristallo, oltre alla calcolatrice, non credi?

Da dove arriva quel problema? Una prova d'esame?

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Note

1. Anche se ti faccio subito notare che la corrente $i_1(t)$ non è costante, come da te ottenuto. ↑