arnett ha scritto:È probabilmente qualcosa di ovvio, ma è tutto il giorno che cerco di provare che
per ogni $a, b \ge 0$ e per ogni $n\ge 1$ risulta
$|a-b|^n\le 2^n (a^n+b^n)$
.
Qualcuno ha suggerimenti? Grazie.
La disuguaglianza è simmetrica ed è vera per $a=b$, dunque basta provarla sotto l’ipotesi $a>b>=0$.
Dividendo m.a.m. per $a$ e ponendo $x=b/a$, si ottiene $(1-x)^n <= 2^n (1+x^n)$, sicché basta dimostrare che $phi(x) = 2^n (1+x^n) - (1 - x)^n >=0$ per $0<=x<1$.
Derivando si trova $phi’(x) = 2^n n x^(n-1) + n (1-x)^(n-1) >0$, quindi $phi(x)$ cresce in $[0,1[$ e da ciò segue $phi(x) >= phi(0) = 2^n - 1 > 0$ per ogni $n>0$; dunque hai addirittura la disuguaglianza forte $2^n (1+x^n) > (1 - x)^n$ che implica:
$|a-b|^n < 2^n (a^n + b^n)$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)