Applicazione Leggi di Kirchhoff

[lewis]

Buonasera a tutti.
Mi sto cimentando con lo studio dell'elettromagnetismo (dovrebbe essere un ripasso visto che sono cose che ho fatto a scuola ai miei tempi, ma con mia somma tristezza, mi rendo conto di non ricordarmi assolutamente nulla!)

Sto facendo esercizi relativi ai circuiti con resistenze.
In un esercizio (che non so come postare, visto che serve l'immagine) sono presenti due generatori, quindi non bastano le leggi relative alle resistenze in serie e parallelo per risolverlo ma servono le Leggi di Kirchhoff (corretto? Ormai ho dubbi su ogni cosa)

Ora, il mio dubbio è il seguente: ho capito che il verso della corrente in ogni maglia lo posso fissare io a priori, e in base al segno che otterrò capisco se ho azzeccato il verso oppure no; ma, una volta fissato il verso, ho comunque problemi nell'applicare la legge delle maglie.
In particolare, sbaglio spesso i segni delle cadute di potenziale dovute alle resistenze; quindi nelle equazioni da me impostate c'è spesso un addendo di segno diverso rispetto alla risoluzione proposta e non mi viene mai nulla.

Poi, un'altra cosa: in generale, quando devo scegliere il verso in una maglia, io mi arrabatto così: se c'è un generatore, scelgo sempre il verso in modo che la specifica $i$ "esca" dal segno $+$ del generatore. E' giusto?

Mi piacerebbe postare la foto dell'esercizio e della mia risoluzione (ammesso che si possa mettere la foto: è preso dall'Amaldi Zanichelli, ci sono problemi di copyright?), ma non ho idea di come fare visto che tinypic non funziona più.

Mi aiutate, per favore? Sono davvero giù di morale, sono argomenti che dovrei conoscere da anni, e invece...

Edit: ho capito come inserire le immagini! Ecco qua l'esercizio:




Io avevo pensato di mettere nella prima maglia la corrente $i_1$ con verso orario, e nella seconda maglia la $i_3$ con verso antiorario. Invece lungo il ramo su cui c'è $R_2$ c'è la $i_2$ verso il basso.

La legge dei nodi l'avrei impostata facendo il seguente ragionamento: ho usato il nodo tra $R_1$ e $R_2$. Lì $i_1$ e $i_3$ sono entranti e $i_2$ uscente, quindi:
$i_2 = i_1 + i_3$.

Ho già sbagliato, vero?

[RenzoDF]

... servono le Leggi di Kirchhoff (corretto? ...

Sì, così come altri metodi derivati.

... ho capito che il verso della corrente in ogni maglia lo posso fissare io a priori,...

Esatto, in ogni ramo lo puoi fissare arbitrariamente, senza nessun vincolo.

... sbaglio spesso i segni delle cadute di potenziale dovute alle resistenze ...

Fissati i versi delle correnti in tutti i rami della rete, il verso della tensione (differenza di potenziale) sarà "conveniente" sceglierlo con il positivo sul morsetto del resistore nel quale la corrente entra e negativo su quello di uscita, in questo modo potrai usare la relazione costitutiva più semplice per il resistore, ovvero $V=R\cdot I$.

... quando devo scegliere il verso in una maglia, io mi arrabatto così: se c'è un generatore, scelgo sempre il verso in modo che la specifica $i$ "esca" dal segno $+$ del generatore. E' giusto? ...

Come già detto i versi delle correnti nei rami puoi sceglierli in modo completamente arbitrario.
Il verso di percorrenza per scrivere l'equazione di Kirchhoff alla maglia è anch'esso arbitrario e, per non sbagliare i segni della somma algebrica, puoi pensare ad una analogia geografica; nel percorrerla¹, indicherai per i diversi bipoli che incontri, positive le "salite", ovvero i passaggi dal segno meno al segno più, negative le "discese", ovvero i passaggi dal più al meno; chiaramente questa somma (completato il "percorso" e ritornati al punto di partenza), sarà nulla.

... Io avevo pensato di mettere nella prima maglia la corrente $i_1$ con verso orario, e nella seconda maglia la $i_3$ con verso antiorario. Invece lungo il ramo su cui c'è $R_2$ c'è la $i_2$ verso il basso.

La legge dei nodi l'avrei impostata facendo il seguente ragionamento: ho usato il nodo tra $R_1$ e $R_2$. Lì $i_1$ e $i_3$ sono entranti e $i_2$ uscente, quindi:
$i_2 = i_1 + i_3$.

Ho già sbagliato, vero?

No, la hai scritta correttamente.

Ora prova a scrivere le due equazioni alle maglie, che controlliamo.

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Note

1. A partire da un suo qualsiasi punto. ↑

[lewis]

Ciao RenzoDF,
innanzitutto grazie per la risposta e la pazienza!
Io vivo di dubbi, e ho sempre l'impressione che mi sfugga il quadro più ampio della situazione, cosa che non mi accadeva con la dinamica
Ho considerato le seguenti maglie:
1) quella che comprende, nell'ordine, $\Delta V_1$, $R_1$ e $R_2$, e l'ho "percorsa" esattamente nell'ordine indicato. Equazione: $\Delta V_1 - i_1 R_1 - i_2 R_2 = 0$.
2) La maglia "piccola", che comprende $Delta V_2$, $R_2$ e $R_3$, percorsa in senso antiorario. Equazione:
$\Delta V_2 - i_2 R_2 - i_3 R_3 = 0$.
La prima credo sia OK, la seconda mi crea molti dubbi.
A sistema con la legge dei nodi viene:
$ i_1 + i_3 = i_2$
$\Delta V_1 - i_1 R_1 - i_2 R_2 = 0$
$\Delta V_2 - i_2 R_2 - i_3 R_3 = 0$

Non ottengo il risultato corretto.
Grazie dell'aiuto!

[RenzoDF]

... La prima credo sia OK, la seconda mi crea molti dubbi.
A sistema con la legge dei nodi viene:
$ i_1 + i_3 = i_2$
$\Delta V_1 - i_1 R_1 - i_2 R_2 = 0$
$\Delta V_2 - i_2 R_2 - i_3 R_3 = 0$

Hai scritto tutte e tre le equazioni correttamente

... Non ottengo il risultato corretto.

Probabilmente hai fatto un errore nel risolvere il sistema, che fornisce invece la terna

$i_1=6/55 \ \text{A},\qquad i_2=6/11 \ \text{A},\qquad i_3=24/55 \ \text{A}\qquad$

concorde con il risultato (approssimato) fornito dal testo

$i_3\approx 0\text{,}44\ \text{A}$.

[lewis]

Oh, cavolo, hai proprio ragione..era un errore di calcolo! E l'ho fatto identico per ben due volte! Genio proprio
Caspita, scusami, ti ho fatto perdere tempo
Accidenti, quando mi metto a fare 'sti esercizi vado nel panico e faccio cavolate...purtroppo però poi non riesco a rendermi conto se si tratti di errorini stupidi oppure se proprio io abbia sbagliato tutto. Fatico molto a capire se ho capito, non so se mi spiego.

Tra l'altro in questo caso, avevo messo le mani sulle soluzioni Zanichelli che mi avevano confuso ancora più le idee (scelta di versi differenti dai miei ecc.)

Già che ti ho rotto le scatole, sapresti indicarmi qualche libro affidabile dove trovare esercizi più o meno a questo livello? Io oltre all'attuale Zanichelli del liceo ho il mio vecchio manuale delle superiori (Walker, sempre Zanichelli), che mi pare leggermente più difficile.

Accidenti, spero che prima o poi mi si accenda la lampadina anche su questi argomenti...è brutto davvero avere sempre più dubbi che certezze.

Grazie mille ancora per l'aiuto la disponibilità, e scusa ancora!