$ int_(-oo)^(oo)int_(-oo)^(oo) f(x,y) dx dy = int_(0)^(oo) int_(0)^(x) 2e^{-x-y} dy dx = int_(0)^(oo) 2*[-e^{-x-y}]_{0}^{x} dx = int_(0)^(oo) 2*e^{-x}(1-e^{-x}) dx= int_(0)^(oo) 2e^{-x}dx - int_(0)^(oo) 2e^{-2x} dx= [-2e^{-x}]_{0}^{oo} + 2*(1/2)[e^{-2x}]_{0}^{oo}$
Verificare che $f(x,y)=$\begin{cases}2e^{-y-x}&0<=y<=x \\0&altrimenti \end{cases} sia una densità congiunta di $(X,Y)$ e calcolare le densità $\rho_{X}, \rho_{Y}$.
Per controllare che sia una densità congiunta:
$ int_(-oo)^(oo)int_(-oo)^(oo) f(x,y) dx dy = 1$
$ int_(-oo)^(oo)int_(-oo)^(oo) f(x,y) dx dy = int_(0)^(oo) int_(0)^(x) 2e^{-x-y} dy dx = int_(0)^(oo) 2*[-e^{-x-y}]_{0}^{x} dx = int_(0)^(oo) 2*e^{-x}(1-e^{-x}) = int_(0)^(oo) 2e^{-x} - int_(0)^(oo) 2e^{-2x} = [-2e^{-x}]_{0}^{oo} + 2*(1/2)[e^{-2x}]_{0}^{oo}= 2 - 1 = 1$
La funzione in questione è una densità.
Per le densità marginali basta porre:
$\rho_{X} = int_(0)^(x) 2e^{-x-y} dy = 2e^{-x}-e^{-2x} = 2e^{-x}(1-e^{-x}) $
Ho un dubbio sulla riscrittura del sostegno per trovare la seguente. Quale delle due è corretta?
$\rho_{Y} = int_(y)^(oo) 2e^{-x-y} dx = 2e^{-2y}$
oppure
$\rho_{Y} = int_(0)^(oo) 2e^{-x-y} dx = 2e^{-y} $