Integrale improprio con parametro

Messaggioda Aletzunny » 15/01/2020, 07:21

stabilire per quali parametri di $alpha$ l'integrale

$\int_0^(+ infty)xarctan(x^alpha)dx$

esiste rispettivamente esiste finito.

Qualcuno può spiegarmi come faccio a capire quali estremi di integrazione mi creano problemi e come agire?
Ad esempio qui di certo uno è $+infty$, ma non capisco se $0$ va bene o no.

$g(x)=xarcatn(x^alpha)$

e quindi sfruttando gli asintotici ho dedotto che $g(x)$ è asintotica a

$\{((pi/2)x (se) alpha>0),((pi/4)x (se) alpha=0),(x^(1+alpha) (se) alpha <0):}$
Se $x->+infty$

Gli integrali impropri a cui mi affido sono

$\int_0^(beta)1/x^p dx$ con $beta>0$

che converge per $p<1$ e

$\int_beta^(+ infty)1/x^p dx$ che converge se $p>1$

Grazie
Aletzunny
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Re: Integrale improprio con parametro

Messaggioda Bossmer » 15/01/2020, 13:15

Allora è molto semplice, gli infiniti sono sempre """"""punti"""""" che creano "problemi", per tutti gli altri dipende dal dominio dell'integranda, tu ti devi calcolare il dominio dell'integranda e vedere se ci sono punti nell'intervallo di integrazione che non fanno parte del dominio(e l'integranda va ad infinito), quelli saranno i punti che ti creano problemi. Nota che non è detto che tali punti siano solo gli estremi di integrazione, ad esempio se prendiamo $f(x)=\frac{1}{x\ln(x)}$ e vogliamo determinare se l'integrale: $$ \int_0^{5}f(x)dx$$ converge, allora notiamo che il dominio di $f$ è $(0,1)\cup (1,+\infty)$ quindi, per l'integrale dell'esempio avremo che $5$ non è un problema perché $5$ è interno al dominio; $0$ è un problema perché non solo è esterno al dominio ma $\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty$, ed infine però anche $1$ è un problema perché è esterno al dominio e si ha che $\lim_{x\to 1}f(x)=\infty$ (dove ci sarebbe da distinguere fra limite destro e sinistro). Quindi l'integrale va spezzato in due integrali, il primo da $0$ a $1$ e il secondo da $1$ a $5$.

Nota che se avessi scelto come esempio $h(x)=\frac{1}{\ln(x)}$ allora , $0$ non sarebbe stato un problema, anche se non si trova nel dominio di $h$, perché $\lim_{x\to 0^+}h(x)=0$


Per quanto riguarda il tuo esercizio ovviamente $0$ non è un problema, perché si trova nel dominio di $g$.
"In matematica non si capiscono le cose. Semplicemente ci si abitua ad esse."
[John von Neumann]
Bossmer
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Re: Integrale improprio con parametro

Messaggioda Aletzunny » 15/01/2020, 18:42

Grazie mille...mi hai schiarito molto le idee
Aletzunny
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