Continuità funzione in due variabili dipendente da parametro, con valore assoluto

Messaggioda Ema6798 » 14/01/2020, 12:36

Ciao! mi sto esercitando con la continuità delle funzioni in due variabili ed ho visto molti esempi, tuttavia non capisco come risolvere il seguente esercizio:

Studiare al variare del parametro reale $a>0$ la continuità in $(0,0)$ della funzione definita dalla legge:

$ { ( |x|^a siny/(x^2+y)\ \ se (x,y)!= (0,0)),( 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \se (x,y)=(0,0)):} $


In particolar modo quello che più mi preoccupa è la presenza del valore assoluto, come mi comporto?
Ho pensato di applicare la definizione di valore assoluto, ottenendo così due funzioni, una per $x>0$ e l'altra per $x<0$, ma poi cosa dovrei fare?
Ho notato poi che questa tipologia di esercizio si risolve spesso con le coordinate polari, diciamo che a prima vista questa funzione non mi è sembrata adatta ad essere risolta con le coordinate polari ma comunque ho provato ad abbozzare qualcosa, del tipo:

Impongo le coordinate polari, cioè


${ ( x=rho cos(vartheta ) ),( y=rho sin(vartheta) ):}$

a questo punto devo calcolare il seguente limite


$lim_(rho -> 0^+) |rho cos(vartheta)|^a sin(rho sin(vartheta))/(rho^2 cos^2(vartheta)+rho sin(vartheta))$
(Ma la quantità dentro il valore assoluto ora dipende da $vartheta$ poichè $rho$ è positivo, che faccio?)

Poi l'espressione sopra si può in qualche modo semplificare, raccogliendo $rho$ al denominatore ad esempio otterrei $rho^(a-1)$ e potrei dire che tende a $0$ se $a>1$, il resto dell'espressione tende pure a $0$, ma comunque rimane il problema del valore assoluto!
Avete qualche piccolo consiglio?
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Re: Continuità funzione in due variabili dipendente da parametro, con valore assoluto

Messaggioda Bossmer » 15/01/2020, 12:58

Ciao Ema6798, allora in realtà secondo me in generale la sostituzione in coordinate polari è utile solo per quegli esercizi così idioti che si potevano fare anche senza(cioè maggiorando).
Poi in realtà io non vedo il problema, in teoria vorremmo dimostrare che il limite tende a $0$ solo così abbiamo la continuità, quindi vorremmo studiare
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)}|x|^\alpha\frac{\sin(y)}{x^2+y}
$$
e dimostrare che fa $0$, o meglio per quali valori di $\alpha$ fa zero, ma questo è equivalente a studiare il limite del modulo e cioè
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left||x|^\alpha\frac{\sin(y)}{x^2+y}\right|=\lim_{(x,y)\to(0,0)}|x|^\alpha\frac{|\sin(y)|}{|x^2+y|}
$$
quindi il fatto che ci sia $|x|^\alpha$ non mi sembra creare grandi problemi.
Questo limite si risolve maggiorandolo con qualcosa che tende a zero, perciò ti consiglio di chiederti a chi è asintotico il seno quando l'argomento va a zero e se trovi un maggiorante della funzione $\frac{1}{|x^2+y|}$, questi limiti si fanno tutti con le maggiorazioni e le stime asintotiche :-D.

Spero basti come "piccolo consiglio", se non dovessi riuscire ancora chiedi pure un "grande consiglio" :-D
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Re: Continuità funzione in due variabili dipendente da parametro, con valore assoluto

Messaggioda Ema6798 » 20/01/2020, 16:26

Se non ricordo male al tentere dell'argomento a 0 il $siny ~ y$ ed un maggiorante della funzione $1/|x^2+y|$ potrebbe essere $1/|y|$ ad esempio, essendo $x^2$ sempre positivo.
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Re: Continuità funzione in due variabili dipendente da parametro, con valore assoluto

Messaggioda Bossmer » 20/01/2020, 16:29

Ottimo!
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