Dubbio sulle Molle e Terzo principio della dinamica

Messaggioda Gigabit » 18/01/2020, 02:11

Salve, avrei bisogno di chiarimenti sulla seguente questione (probabilmente molto banale) emersa durante lo svolgimento del seguente esercizio:

Schema del problema:
Immagine
(link dell'immagine nel caso non venga caricata dal tag: https://drive.google.com/open?id=1URSaVeen8oT34rehjLA_VXwB7Bgwu5vU)

Testo: Un punto materiale di massa $M = 0.4kg$ si muove sotto l'azione di una forza $F = 8N$. La molla ha massa $m_(molla)=0.1kg$ e costante elastica $k = 200 N/m$. Calcolare la deformazione x della molla.

La risoluzione mi è sembrata apparentemente semplice:
Come prima cosa ho calcolato l'accelerazione complessiva del sistema dato dalle masse $M$ e $m_(molla)$, ovvero:

$a=F/(m_(molla)+M) = 16 m/s^2$

Dunque ho dedotto che sul blocco di massa $M$ agisce una forza risultante data da:

$F_M=M*a=16*0.4=6.4N$

Quindi, supponendo l'assenza di attriti, l'unica cosa che interagisce con il blocco (orizzontalmente) è la molla; dunque la forza $F_M$ sarà dovuta interamente da essa, e questa dovrebbe proprio combaciare con la forza di richiamo.
Dunque, data la legge $F_(hooke) = kx$, la soluzione sarà data da $x=F_M/k=0.032m$.

Quest'ultimo passo è ciò che il libro propone come soluzione (mostra solo i passaggi matematici, non spiega i ragionamenti); tuttavia non mi è chiara la seguente cosa: all'altro capo della molla "qualcosa" applica all'estremo della molla stessa una forza $F$; per il $3^o$ principio della dinamica quel "qualcosa" dovrà subire una forza di uguale entità e di verso opposto ($-F$) dovuta alla molla.

Per simmetria al caso di $F_M$ dunque mi tornerebbe lecito dire anche: $x=F/k=8/200=0.04m$

Qualcuno può chiarirmi le idee sul perchè quest'ultimo approccio non è corretto, ed eventualmente dove sto sbagliando ad applicare il $3^o$ principio e/o la legge di Hooke?

PS: per contestualizzare, sto leggendo il libro Elementi di Fisica di Mazzoldi, Nigro, Voci, e l'esercizio è proposto nel $3^o$ capitolo, dopo aver introdotto i 3 principi della dinamica e alcuni tipi di forze (tra cui le molle, di cui tratta solo casi in cui la massa è trascurabile); cercando sul web una spiegazione sono incappato in discussioni dove spiegavano che le molle con massa non trascurabile sono un pò più complicate, ma non credo che il testo che sto usando dia per scontato tali complicazioni.
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Re: Dubbio sulle Molle e Terzo principio della dinamica

Messaggioda mgrau » 18/01/2020, 21:35

Effettivamente, la soluzione proposta $x = F_M/k$ non mi pare giusta. Non saprei dire se è giusta la tua, ma basta pensare al caso in cui non c'è nessuna massa attaccata alla molla: in questo caso $F_M = 0$, e la molla non sarebbe estesa per niente, ma chiaramente non è così.
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Re: Dubbio sulle Molle e Terzo principio della dinamica

Messaggioda Faussone » 18/01/2020, 23:30

@Gigabit

Corretto il primo ragionamento che ti porta al risultato, ma non il secondo: visto che la molla è dotata di massa non è vero che la forza F applicata all'estremo sarà uguale a quella all'estremo opposto e che quindi sarà responsabile del l'allungamento.
Infatti per la molla la risultante delle forze applicate sarà quella che le conferisce l'accelerazione che hai calcolato.
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Re: Dubbio sulle Molle e Terzo principio della dinamica

Messaggioda Gigabit » 19/01/2020, 02:19

Grazie mille mgrau e Faussone per l'attenzione!

Grazie per la spiegazione Faussone, penso di aver capito adesso! Tuttavia per sicurezza vorrei chiedere conferma sulla fondatezza del seguente ragionamento (per timore di aver capito male il $3^o$ principio):

L'estremità destra della molla è sottoposta ad una forza $F=8N$ che "qualcosa" (chiamiamolo oggetto A) gli applica; quindi per il $3^o$ principio della dinamica l'oggetto A subirà una forza della stessa entità ma di verso opposto $(-F)$

Quindi a tale estremità destra, la forza che la molla applica all'oggetto A è proprio $-F$, e di fatto si ha una molla che ai suoi estremi ha apparentemente due forze di richiamo differenti.
Tuttavia (penso fosse questo ciò che non mi era chiaro) la forza all'estremo destro che l'oggetto A subisce sarà dovuta in parte dalla massa del carico dell'oggetto A stesso (massa del blocco più la massa della molla) e solo in parte dalla forza di richiamo della molla.

Per vedere quale è l'effettiva forza di richiamo della molla (e quindi risolvere l'esercizio) dobbiamo concentrarci sul suo estremo sinistro, dove la forza che applica la molla "non è influenzata dalla sua massa" e sarà dunque l'effettiva forza di richiamo.

Mentalmente mi immagino che nella molla avvenga qualcosa di simile:

Immagine
(link all'immagine nel caso il tag non funzionasse: https://drive.google.com/open?id=1C49Ynvtte1y0BlYMMjphBZNi4L-BUwLW)

Ovvero per ogni "fettina" di molla infinitesima dx, le forze agli estremi di dx (di verso opposto) hanno praticamente lo stesso modulo; questo effetto si ripete lungo tutta la molla e l'effetto complessivo è quello descritto prima, ovvero che la forza $F$ in parte causa un'accelerazione della massa del suo carico e in parte bilancia la forza di richiamo della molla.

Giusto?

(PS: Grazie davvero per le risposte; mi preme farvi sapere che siete delle persone ammirevoli per ciò che fate su questo forum)
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Re: Dubbio sulle Molle e Terzo principio della dinamica

Messaggioda Faussone » 19/01/2020, 09:51

Grazie credo a nome di tutti per l'apprezzamento, ognuno dà il contributo che può, è una comunità aperta in cui tutti imparano anche quelli che rispondono.

...e infatti sto imparando qualcosa anche da qui.

Riflettendoci meglio mi pare sempre corretta quella soluzione, ma non riesco a spiegare in maniera che mi soddisfa la radice del tuo dubbio. Ci penso un altro poco.
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Re: Dubbio sulle Molle e Terzo principio della dinamica

Messaggioda Faussone » 19/01/2020, 11:34

Non sono arrivato a alcuna spiegazione convincente...
Continuo a pensarci, vediamo se qualcun altro arriva a qualcosa.

Riassumo qui il problema, togliendo gli elementi che non servono.

Supponiamo di avere una molla di massa $m$ lunga $L$ e di costante elastica $k$ sottoposta ad un estremo ad una forza $F_1$ e all'altro estremo ad una forza $F_2$ opposta in verso, con $F_1>F_2$. Ovviamente la molla si muoverà con accelerazione pari a $a=(F_1-F_2)/m$ , vogliamo sapere di quanto si allunga la molla.
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Re: Dubbio sulle Molle e Terzo principio della dinamica

Messaggioda professorkappa » 19/01/2020, 12:39

L'andamento della tensione nella molla e' somma delle 2 forze e dell'inerzia, che e' lineare.
Lo spostamento dell'estremo della molla e' l'integrazione degli spostamenti infinitesimi su L.

Non ho tempo di scriverlo adesso, lo faccio dopo (oppure qualche anima buona che faccia i calcoli si trova) :-)
Ma e' piu' un esercizio di SdC che di Fisica....
La mitologia greca e' sempre stata il mio ginocchio di Achille
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Re: Dubbio sulle Molle e Terzo principio della dinamica

Messaggioda mgrau » 19/01/2020, 18:21

Senza stare a fare calcoli, puoi immaginare la molla massiva come una serie di molle intervallate da piccole masse1 . In questo caso è chiaro che se applichi una forza ad un estremo, la tensione è massima sulla prima molla (che deve tirare tutte le masse) e minima sull'ultima (che ne deve tirare una sola, o nessuna). La tensione, dato che l'accelerazione è comune a tutte le masse, è proporzionale alla distanza dal fondo della molla, ossia alla massa che deve essere accelerata.
Questo se la molla sta da sola. Se in fondo c'è attaccata un'altra massa, il concetto non cambia. Il fatto importante è che la tensione ai due capi non è uguale, senza che ci sia violazione del terzo principio.

Note

  1. Il $k$ delle singole mollette è quello originale moltiplicato per il numero di pezzi
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Re: Dubbio sulle Molle e Terzo principio della dinamica

Messaggioda Faussone » 19/01/2020, 18:24

Grazie pk (e mgrau vedo ora che ha risposto anche lui).

Cercavo una soluzione più a livello fisica 1, ma occorre comunque qualche concetto di calcolo strutturale.

Avevo sottovalutato il problema iniziale, che sembrava un innocuo problemino di fisica, ma non lo era, mi scuso con Gigabit.
(Non c'è niente da fare se non si fanno i conti sul serio sulla carta e si procede a mente si rischia di prendere delle cantonate, ultimamente mi è successo più di una volta, credo che da ora in poi quando risponderò sottolinerò se non ho fatto tutti i conti e che in quel caso quello che scrivo va preso come spunto di riflessione ma va verificato.)

Ho fatto i conti finalmente, ma non sono sicuro se metterli, non è niente di complesso ma ci vuole qualche concetto in più delle nozioni che si usano in fisica1.

Alla fine comunque il dubbio di Gigabit era più che legittimo, tanto è vero che la soluzione riportata a quell'esercizio è sbagliata, la "mancanza di simmetria" (credo che Gigabit capisca quello che intendo) in quella soluzione è proprio indice di un qualcosa che non quadra.

Si dimostra che nell'esercizio che ho proposto io prima (facile trasportarlo all'esercizio iniziale poi) l'allungamento della molla è in un certo senso quello che l'intuito direbbe:

$(F_1+F_2)/(2k)$

va considera cioè come forza di allungamento la forza media tra le forze agli estremi.
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Re: Dubbio sulle Molle e Terzo principio della dinamica

Messaggioda Gigabit » 19/01/2020, 20:56

Perfetto, vi ringrazio dinuovo per i chiarimenti!

Mi consola il fatto che i miei dubbi fossero fondati, e le vostre argomentazioni mi hanno più che aiutato a trovarne un contesto!

Come suggerisci giustamente tu Faussone, per capire più approfonditamente il problema avrei bisogno di strumenti più avanzati; nonostante ciò, per quanto riguarda il mio livello attuale, grazie alle vostre risposte sento di aver compreso in modo più che esaustivo l'argomento (nell'ambito di fisica 1)!

Quindi non posso far altro che ringraziarvi nuovamente e augurarvi tante belle cose! :D
Gigabit
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