Rotazione con accelerazione costante....

[Blacknight]

Buona sera a tutti
Avrei un problema un problema di cui non riesco a venire a capo ed è il seguente:

Una ruota, partita da ferma, gira con un'accelerazione costante di $3,00 (rad)/s^2$. Durante un certo intervallo di $4,00 s$ compie una rotazione di $120 rad$. Da quanto tempo stava girando all'inizio dell'intervallo di $4,00 s$?

Avendo accelerazione costante anche la velocità angolare all'inizio dell'intervallo di $4s$ (credo) dovrebbe essere differente da quella alla fine dello stesso, ma, non sapendo appunto da quanto tempo girava prima dell'inizio del famoso intervallo non ho proprio idea di come procedere.

Vi prego niente numeri nella spiegazione, solo formule....

Ringrazio chiunque abbia la pazienza e la benevolenza di darmi una mano. Magari anche solo un'indicazione della via da percorrere...

[professorkappa]

La ruota gira, da ferma, con legge $theta(t)=1/2alphat^2$

Se $T$ e' l'istante in cui cominci a contare le rotazioni dopo la partenza, e $Deltat$ sono i 4 secondi, allora sai che

$theta(T+Deltat)=1/2alpha(T+Deltat)^2$
$theta(T)=1/2alpha(T)^2$

Puoi continuare da qui?

[Blacknight]

Quindi dovrei trovare $T$?
Se si, secondo i miei calcoli, dividendo primo e secondo membro per $T$ la formula finale risulta essere $T=(2theta)/alpha$
Avevo gia provato qualcosa di simile ma si discosta molto dal risultato che risulta essere: $8s$
Non torna neanche con $T=sqrt((2theta)/alpha)$

[professorkappa]

A parte che mi pare che la tua divisione del I e II membro per T lasci a desiderare, ti basta sottrarre membro a membro le 2 equazioni, sapendo che la differenza a sinistra e' 120 radianti.


$120 = 1/2α(T+Δt)^2-1/2α(T)^2$

e da li trovi la T che e' l'incognita.

[Blacknight]

Scusa, magari ho un problema piu grade di quel che pensavo, ma continuo a non capire...
Posto $theta = 120 rad$ l'equazione da risolvere secondo $T$ dovrebbe quindi essere:

$theta = 1/2alpha(T+t)^2 - 1/2alpha(T)^2$

moltiplico tutto per $2$, risolvo la moltiplicazione e rimane:

$2theta = alpha(T)^2+alpha(t)^2-alpha(T)^2$

$alpha(T)^2$ si elide con $-alpha(T)^2$ e sono punto e a capo....

Cosa sto sbagliando?

[professorkappa]

ti manca il doppio prodotto $2TDeltaT$ nello sviluppo del quadrato

[blacknight78]

Ottimo!!!!
Ti ringrazio tanto.
In fondo avevo la risposta sotto al naso ma non riuscivo a vederla.
Alla fine quindi sono arrivato ad avere la seguente formula risolutiva:

$T = (2theta - alpha t^2)/(2alpha t)$

il cui risultato, sostituendo i valori, è appunto $8 s$

Ancora grazie. Sei stato prezioso!