Proprietà Archimedea di R

[Settevoltesette]

Come si dimostra che la proprietà Archimedea di R dipende dall'esistenza dell'estremo superiore o ad una proprietà ad essa equivalente?
Preferirei un aiuto piuttosto che una dimostrazione completa per il momento, se possibile

[solaàl]

In \(\mathbb R\), \(\mathbb N\) non è superiormente limitato. Allora, se per assurdo \(\mathbb R\) non fosse archimedeo...

[Settevoltesette]

vediamo...

Per assurdo $R$ non è archimedeo, allora esistono $x,y$ in $R^+$ tali che per ogni $n$ in $N$ si ha $nx < y$.

Considero l'insieme $B=(nx \in R | n \in N)$ ho che $x \in B$ dunque $B$ è non vuoto ed $y$ è un maggiorante, supponiamo che esiste $a = Sup(B)$ si ha che $nx<a$ per ogni $n$ , dunque da $a - x < a$ si ha che $a - x$ non è un maggiorante di $B$ e dunque esiste $n_0$ in $N$ tale che $a-x < n_0x$ quindi $a<(n_0 +1)x$ assurdo!

(in effetti ho fatto quasi un copia incolla della dimostrazione contraria che ho sul libro, cioè che l'etremo superiore implica R archimedeo)

Grazie per l'aiuto