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Se m è dispari, si ha
$2^n=p^m+1=(p+1)(p^(m-1)-p^(m-2)+...-p+1)$
Non può essere $p=2$, in quanto $3$ non divide $2^n$. Se $p!=2$, $p$ è dispari; in tal caso, il fattore $(p^(m-1)-p^(m-2)+...-p+1)$ è dispari,poichè somma algebrica un numero dispari$(m)$ di addendi dispari, e poichè divide $2^n$, dev'essere una potenza di $2$. Può quindi risultare soltanto:
$p^(m-1)-p^(m-2)+...-p+1=1$,
per cui $2^n=p+1=>p=2^n-1=p^m$