Potenza di primo di Mersenne

Messaggioda Martino » 20/12/2019, 15:24

Mostrare che se $p$ è un primo, $m,n$ sono interi positivi e $p^m=2^n-1$ allora $m=1$, cioè $p^m=p$ è un primo di Mersenne. In altre parole se un numero di Mersenne è una potenza di un primo allora è un primo!
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Re: Potenza di primo di Mersenne

Messaggioda dissonance » 20/01/2020, 20:35

Questo problema è molto carino ma vedo che è rimasto senza risposte. Potresti dare un suggerimento?
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Re: Potenza di primo di Mersenne

Messaggioda Martino » 21/01/2020, 02:16

Innanzitutto mostrare che $m$ è dispari.

Poi scrivere $2^n=p^m+1=$...
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Re: Potenza di primo di Mersenne

Messaggioda arnett » 21/01/2020, 19:31

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Non riesco a provare che $m$ è dispari, ma se accettiamo per ora questo fatto mi viene così: se vale $ p^m=2^n-1 $, $p$ deve essere dispari, perché non può essere $2$, diversamente avremmo un numero pari nel LHS uguale a un numero dispari nel RHS. Scrivo $2^n=p^m+1=(p+1)(p^{m-1}-p^{m-2}+...-p+1)$, ma $p^{m-1}-p^{m-2}+...-p+1$ è una somma algebrica di un numero dispari di termini dispari, quindi è dispari e divide una potenza di $2$, quindi è $1$. Allora $2^n=p+1$ e sostituendo $p^m=p$, quindi $m=1$.
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Re: Potenza di primo di Mersenne

Messaggioda mario9555 » 21/01/2020, 21:10

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Se m è dispari, si ha

$2^n=p^m+1=(p+1)(p^(m-1)-p^(m-2)+...-p+1)$

Non può essere $p=2$, in quanto $3$ non divide $2^n$. Se $p!=2$, $p$ è dispari; in tal caso, il fattore $(p^(m-1)-p^(m-2)+...-p+1)$ è dispari,poichè somma algebrica un numero dispari$(m)$ di addendi dispari, e poichè divide $2^n$, dev'essere una potenza di $2$. Può quindi risultare soltanto:

$p^(m-1)-p^(m-2)+...-p+1=1$,

per cui $2^n=p+1=>p=2^n-1=p^m$
Ultima modifica di mario9555 il 21/01/2020, 21:37, modificato 1 volta in totale.
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Re: Potenza di primo di Mersenne

Messaggioda dissonance » 21/01/2020, 21:15

@mario: mi piace, ma il prodotto di un numero pari per un numero dispari è pari, per esempio \(2\cdot 3\) è pari.
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Re: Potenza di primo di Mersenne

Messaggioda mario9555 » 21/01/2020, 21:36

Hai ragione @dissonance, ho preso una svista :shock: ... .Ho scritto prodotto di pari per un dispari, e ho pensato al prodotto di due dispari :lol: . Correggo subito. Purtroppo, per ora, non ho la soluzione per $m$ pari.
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Re: Potenza di primo di Mersenne

Messaggioda Martino » 21/01/2020, 22:03

mario9555 ha scritto:Purtroppo, per ora, non ho la soluzione per $m$ pari.
Questa è la parte facile :lol: prova a ridurre modulo ...
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Re: Potenza di primo di Mersenne

Messaggioda arnett » 21/01/2020, 22:35

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
L'uguaglianza non può essere realizzata per $n=1$ poiché nessun primo elevato a nessuna potenza positiva è uguale a $1$; sia quindi $n \ge 2$, se fosse $m=2k$ pari si avrebbe $(p^k)^2 \equiv_4 -1$, ma $-1$ non è un quadrato in $\ZZ_4$.
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