Trovare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale

Messaggioda john_titor20 » 21/01/2020, 12:15

Salve, volevo chiedere un aiuto su quest'esercizio:
Dopo aver verificato che $C$ è un sottospazio vettoriale di $RR[x]$, trova la sua dimensione e una sua base
\(\displaystyle C=\{p(x) \in \mathbb{R}[x]| p(-1)=0, p(1)=0 \} \).
Ho già verificato che è un sottospazio di $RR[x]$ tuttavia non riesco a capire come trovare dimensione e base. Avevo pensato di ricollegami in qualche modo ad una base canonica ma ho la sensazione che sia errato così. Grazie a ci mi risponderà :D
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Re: Trovare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale

Messaggioda gugo82 » 21/01/2020, 15:58

Rifletti: quanti polinomi che si annullano in $+-1$ puoi scrivere? E di che grado?
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Re: Trovare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale

Messaggioda john_titor20 » 21/01/2020, 20:01

Dovrebbero essere tutti del tipo n(x^2-1) e tutti di grado 2n ossia pari, o sbaglio?
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Re: Trovare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale

Messaggioda gugo82 » 21/01/2020, 23:15

Il polinomio che hai scritto ha grado $2$… Ma non è quello di grado massimo, poiché ad esempio $x^4 - 1$, $x^6 - 1$, $x^8 - 1$ soddisfano le condizioni nulle in $+-1$.
Riesci a trovarne altri? Cosa deduci sulla dimensione di $C$?
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Re: Trovare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale

Messaggioda john_titor20 » 22/01/2020, 00:11

Ne deduco che esistono infiniti polinomi che soddisfano le condizioni nulle in $ +-1 $ siccome basta che in $ x^n- 1 $, $n$ sia un numero pari, quindi la dimensione dovrebbe essere infinita?
Mentre una base potrebbe essere \(\displaystyle B={1, x^2, x^4,....,x^{2n}} \)
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Messaggioda j18eos » 22/01/2020, 09:40

Indubbiamente \(\displaystyle x^2-1\in C\), ma anche \(\displaystyle x^3-x\in C\), quindi non basta considerare i soli polinomi di grado pari.

...però \(\displaystyle n(x^2-1)\) potrebbe essere corretto se si specificasse cosa sia questo oggetto \(\displaystyle n\).
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Re:

Messaggioda john_titor20 » 22/01/2020, 10:29

j18eos ha scritto:Indubbiamente \(\displaystyle x^2-1\in C\), ma anche \(\displaystyle x^3-x\in C\), quindi non basta considerare i soli polinomi di grado pari.

...però \(\displaystyle n(x^2-1)\) potrebbe essere corretto se si specificasse cosa sia questo oggetto \(\displaystyle n\).


$n$ è uno scalare appartenente ad $R$
ora che mi ci fa riflettere, anche \(\displaystyle x^3+x^2-x-1\in C \), quindi verificano le condizioni sia binomi di grado $2$ che quadrinomi del tipo \(\displaystyle x^3+x^2-x-1\), questo vuol dire che $C$ non ha una dimensione finita?
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Messaggioda j18eos » 23/01/2020, 10:36

Più che altro ciò indica che non si riescono ad elencare tutti gli elementi che generano \(\displaystyle C\), quindi si potrebbe supporre che questi sia uno spazio vettoriale infinito-dimensionale... ma a questo punto è solo una supposizione lecita.

Restando sulla domanda, come chiesi a lezione: se lei legge che un polinomio si annulla per un certo valore, quale regola le viene in mente? E dato che nell'esercizio ho dato due valori, questa regola quante volte si dovrebbe applicare?
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Re:

Messaggioda john_titor20 » 23/01/2020, 18:49

j18eos ha scritto:Più che altro ciò indica che non si riescono ad elencare tutti gli elementi che generano \(\displaystyle C\), quindi si potrebbe supporre che questi sia uno spazio vettoriale infinito-dimensionale... ma a questo punto è solo una supposizione lecita.

Restando sulla domanda, come chiesi a lezione: se lei legge che un polinomio si annulla per un certo valore, quale regola le viene in mente? E dato che nell'esercizio ho dato due valori, questa regola quante volte si dovrebbe applicare?


Mi viene in mente la regola di Ruffini e che si dovrebbe applicare due volte. Quindi,
\(\displaystyle p(1)=0 \Longleftrightarrow p=(x-1)*p0\)
\(\displaystyle p(-1)=0 \Longleftrightarrow p=(x-1)*p0\)
perciò il polinomio apparterrà a C se sono verificate in contemporanea le due condizioni
\(\displaystyle p(1)=0, p(-1)=0 \Longleftrightarrow p=(x-1)(x+1)*p0\)
o meglio scritto \(\displaystyle p(1)=0, p(-1)=0 \Longleftrightarrow p=(x^2-1)*p0\)
dove $p0$ indica un qualsiasi altro polinomio qualsiasi

Mi dica se ho sbagliato qualcosa e dove, inoltre la ringrazio per l'aiuto e per la disponibilità.
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Messaggioda j18eos » 23/01/2020, 22:16

Esatto; quell'insieme è così ri-scrivibile:
\[
C=\{(x^2-1)p_0\in\mathbb{R}[x]\mid p_0\in\mathbb{R}[x]\}.
\]
Sicché diventa facile dimostrare che è un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle\mathbb{R}[x]\) (se non l'ha dimostrato in altra maniera).

Per quanto riguarda il calcolo di una base di \(\displaystyle C\), è utile utilizzare usare la base canonica1 di \(\displaystyle\mathbb{R}[x]\) e la nuova caratterizzazione di \(\displaystyle C\).

Una volta trovata una base, si trova sùbito la dimensione di \(\displaystyle C\).
john_titor20 ha scritto:[...] inoltre la ringrazio per l'aiuto e per la disponibilità.
Dopo oltre 6500 messaggi su questo forum, le assicuro che continuo a rispondere (anche) per piacere personale. O:)

Note

  1. Altrimenti a che servirebbe, oltre ad essere un esempio?
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