Densità del massimo di un vettore aleatorio

Messaggioda mobley » 19/12/2019, 13:15

Buongiorno forum,
oggi non vi chiederò aiuto per lo svolgimento di esercizi (o almeno credo :lol: ) ma un chiarimento sul ragionamento da fare per impostare il calcolo della densità del massimo di due variabili dipendenti
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
o di un minimo… supponendo che il ragionamento da fare sia lo stesso.

Ciononostante inserirò due esercizi, ma soltanto come spunto per sviluppare il ragionamento che sto provando a condurre in porto
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Non credo di violare il regolamento dato che non ne chiedo la soluzione ma se così fosse modificherò il post.

ESERCIZIO N° 1 - Si sceglie un punto a caso nel triangolo di vertici $A=(0,0),B=(1,3),C=(2,0)$. Sia $(X,Y)$ la v.a. doppia che indica il punto scelto. Calcolare:
a) la densità di $(X,Y)$.
b) la densità di $V=max(X,Y)$.
c) la densità di $W=min(X,Y)$.
d) la densità di $Z=V-W$.


ESERCIZIO N° 2 - Si sceglie un punto a caso nel triangolo di vertici $A=(0,0),B=(0,1),C=(1,0)$. Sia $(X,Y)$ la v.a. doppia che indica il punto scelto. Calcolare:
a) la densità di $(X,Y)$.
b) la densità di $V=max(X,Y)$.
c) la densità di $W=min(X,Y)$.
d) la densità di $Z=V-W$.


Allora… Iniziamo col dire che il punto a) è rispettivamente $f(x,y)=1/3$ e $f(x,y)=2$. Il ragionamento da fare è lo stesso in entrambi i casi. Ad es. nel caso dell'esercizio n° 2, se si disegna il triangolo rettangolo definito dalle due $U~ (0,1)$ tagliato a metà dalla bisettrice 1° - 3° quadrante si può osservare che $\forall x \in (y<x uu x<1/2)rArr 1/2-x<1/2-y/2$, da cui seguono gli intervalli $(0<y<1)$ e $(y/2<x<1-y/2)$ e quindi
$1=\int_0^1[\int_(y/2)^(1-y/2)f(x,y)dx]dyrArr f(x,y)=2$

Usiamo la densità congiunta così ottenuta per determinare la densità del massimo. Applicando la definizione di ripartizione abbiamo $F_V(v):=\mathbb(P)(V<=v)=\mathbb(P)(max(X,Y)<=v)=\mathbb(P)(X<=v,Y<=v)$. Bene.
Ora viene il bello. Il testo non specifica l'indipendenza delle variabili (e non è sufficiente la rettangolarità del dominio), quindi dobbiamo supporre che le due variabili siano in qualche modo dipendenti. Infatti se $X_|_Y$ basterebbe applicare l'indipendenza $\mathbb(P)(X<=v,Y<=v):=\mathbb(P)(X<=v)\mathbb(P)(Y<=v)$ e sostituire alle singole probabilità le relative funzioni di ripartizione (che restituirebbero una densità $f_V(v):=(\partial(F_V(v)))/(\partial v)=2v$). Tuttavia non è questo il caso, e da quanto ho capito io quando le variabili sono dipendenti bisogna andare a studiare $\forall v \in \mathbb(R)$ quali valori assume $F_V(v)$. Allora, tenendo presente che il valore che divide il triangolo in tre sezioni (rispettivamente un quadrato e due triangoli rettangoli) è $1/2$, dovremmo avere:
- per $v<=0: F_V(v)=0$ (sia per definizione stessa di ripartizione $0<=F_X(x)<=1$ sia perchè il dominio, delimitato dalle due Uniformi, ha come estremo inferiore l'origine).
- per $v>1: F_V(v)=1$ (sia per definizione stessa di ripartizione sia perchè il dominio ha come estremi superiori i punti $(0,1)$ e $(1,0)$).
- per $(0<v<=1/2)?->$ Supponiamo che $X=v$, con $v \in \mathbb(R)$ generico. La proiezione sull'asse delle Y del punto di intersezione tra $X=v$ e la bisettrice del 1° - 3° quadrante restituisce un analogo valore di $Y$, e viene così a formarsi un quadrato di lato $(v-0)=v$ la cui lunghezza può variare tra un minimo di 0 (in tal caso il quadrato sarebbe un punto) e un massimo di $v=1/2$, dove $v$ è proprio il massimo tra le due variabili (cioè - credo - è come se avessimo $max(1,1)=1$). Allora
$f(x,y)\cdot[$area quadrato di lato $v]=2v^2$

E questo risultato sembrerebbe confermato dal fatto che $\mathbb(P)(X<=v,Y<=v)=\int_0^v[\int_0^v2dx]dy=2v^2$.
- per $(1/2<v<=1)?->$ Se $v$ è compreso in questo intervallo viene a formarsi un quadrato di lato $1/2+v$ di cui una parte è compresa nel dominio (i due triangolini evidenziati in figura di area $2((1-v)^2)/2$) e una parte no (i triangoli segnati con 1,2,3,4).
Immagine
Bene. Qui ho difficoltà proprio a visualizzare il massimo… Ho pensato di sottrarre dall'area del quadrato i due triangoli (il tutto ovviamente moltiplicato per la densità) ma non viene:
$f(x,y)\cdot[$area quadrato di lato $1/2+v-2((1-v)^2)/2$ $]=…$

Ho anche provato con $\mathbb(P)(X<=v,Y<=v)=\int_(1/2)^1[\int_(1/2)^12dx]dy=2(1-v)^2$, ma il risultato è $1-2(1-v)^2$.
Ora, non è tanto il fatto che non mi venga il risultato ma non riesco proprio a "vedere" questo massimo: è il lato del quadrato? Come lo si riconosce un "massimo"?

Lo stesso potrei dire nel caso dell'esercizio n° 1: perchè per $(0<v<=3/2)rArr F_V(v)=1/3\cdot (v^2-$ area triangolino esterno a sinistra $)$? Sta ovviamente sottraendo un'area che non rientra nel dominio ma dove starebbe il massimo? Ho proprio difficoltà ad inquadrarlo.

Mi scuso:
- se mi sono dilungato (ma avevo necessità di esporre ogni dubbio)
- se ho inserito la foto (ma ne avevo necessità anche in questo caso. Confido nella buon anima della moderazione :-D ).

Grazie mille a chiunque vorrà aiutarmi e spiegarmi!
mobley
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Re: Densità del massimo di un vettore aleatorio

Messaggioda mobley » 10/01/2020, 11:54

Buongiorno a tutti, riapro questo posto dopo panettoni e cenoni vari.
Sto provando a calcolare la densità del massimo dell'esercizio n°1. Nell'intervallo $(0<v<=3/2)$ ottengo $F_V(v)=5/18v^2$, e fin qui credo sia corretto. Ho invece difficoltà nell'intervallo $(3/2<v<=2)$ perchè, posto che $F_V(v)=f(x,y)\cdot[$ area quadrato di lato $v-$ area triangolo esterno di sx $-$area triangolo esterno di dx$]$ $=1/3[v^2-1/2(v\cdot v/3)-(…)]$, non riesco a determinare l'area del triangolo di dx.
Avete qualche idea?
Grazie mille a chiunque vorrà aiutarmi! :D
mobley
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Re: Densità del massimo di un vettore aleatorio

Messaggioda tommik » 18/01/2020, 20:10

mobley ha scritto:non riesco a determinare l'area del triangolo di dx.
Avete qualche idea?




(il grafico è fatto a mano e non è in scala)
Immagine

$a=(4v-6)/3$

$b=(4v-6)$

e dunque in quel tratto la CDF viene $5/18v^2-(4v-6)^2/18$
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Re: Densità del massimo di un vettore aleatorio

Messaggioda mobley » 22/01/2020, 11:33

tommik ha scritto:$a=(4v-6)/3$ e $b=(4v-6)$

Grazie per la risposta tommik ma nonostante abbia provato e riprovato non capisco bene come sei riuscito a trovare questi valori.
Forse mi sono avvicinato soltanto ad "a". So che $a=v$ perchè è uguale alla base del triangolo grande di sx, ma da quel $v$ devo sottrarre un pezzettino che sarebbe la differenza sull'asse delle ascisse $2-v/3$. E' giusto?
Per $b$ invece niente, non capisco.
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Re: Densità del massimo di un vettore aleatorio

Messaggioda tommik » 22/01/2020, 11:40

mobley ha scritto:ma da quel $v$ devo sottrarre un pezzettino che sarebbe la differenza sull'asse delle ascisse $2-v/3$. E' giusto?


Sì è giusto Non sono sicuro di aver capito cosa intendi. Prendiamo il segmento $a$

la sua lunghezza la leggi sulle ascisse: sara $v$ meno il valore DI ASCISSA dell'intersezione fra le seguenti (semi)rette1

${{: ( y=v ),( y=6-3x) :} rarr " per confronto " rarr{v=6-3xrarrx=2-v/3$

quindi il segmento $a$ vale esattamente $v-(2-v/3)=(4v-6)/3$


mobley ha scritto:Per $b$ invece niente, non capisco.


Strano perché è lo stesso ragionamento sull'altro asse. Prendiamo ora il segmento $b$

anch'esso sarà $v$ meno il valore DI ORDINATA dell'intersezione fra le seguenti (semi)rette:

${{: ( x=v ),( y=6-3x) :} rarr{{: ( x=v ),( x=(6-y)/3) :}rarr" per confronto " rarr{v=(6-y)/3rarry=6-3v$

quindi la lunghezza del segmento $b$ è dato da

$v-(6-3v)=4v-6$

da ciò si vede anche che $b=3a$ anche se dal grafico si capisce poco perché l'ho fatto in excel in fretta e furia e non ho messo la stessa scala sui due assi

Ecco un grafico che dovrebbe spiegare bene il problema


Immagine



...Per l'ultimo pezzettino della CDF (quella che va da 2 a 3) non dovresti avere più problemi....ti manca da valutare l'ultimo triangolino in alto...

Note

  1. anche se dovrebbe essere superluo in una stanza per l'Università, faccio notare che: la retta $y=k$ è una retta parallela all'asse delle ASCISSE, mentre la generica retta $x=k$ è una retta parallela all'asse delle ORDINATE.
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Re: Densità del massimo di un vettore aleatorio

Messaggioda mobley » 22/01/2020, 13:30

Perdonami tommik ma io ho ragionato a livello esclusivamente di "confronto" grafico con il triangolo di sx, che ha come base $v$ e come altezza $v/3$, per questo dico che non capisco.
Per quando riguarda $a$ infatti, se non fosse per quel pezzettino, la sua lunghezza sarebbe uguale alla base del triangolo di sx: ecco perchè ho fatto $v-(…)$. Invece per quanto riguarda $b$, sapendo che l'altezza del triangolo di sx è $v/3$, dovrei fare (proprio in virtù dello stesso ragionamento) $v/3-(…)$. Dunque tutto sta nel capire quanto vale quel pezzo di altezza che si trova all'interno del triangolo totale. E' qui che mi inceppo.

PS: Si, l'ultima parte della ripartizione sarebbe per $(2<v<=3)$.
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Re: Densità del massimo di un vettore aleatorio

Messaggioda tommik » 22/01/2020, 13:33

Ora ti ho spiegato passo passo tutti i ragionamenti da fare con tanto di disegno e tutte le formule ed i passaggi necessari. Sono ragionamenti da II superiore, non di più. Quindi ti consiglio di fare tabula rasa dei tuoi ragionamenti e seguire ciò che ti ho detto1... e ripassare un po' di argomenti di base. Questi quesiti che ti vengono proposti sono più quesiti geometrici e di analisi che non di Statistica.

Note

  1. non perché lo dica io ma perché questo è il modo standard di ragionare che si impara negli anni di scuola...probabilmente tu sei un po' arrugginito in tal senso...nulla di male ma di fronte a queste difficoltà o ti metti a ripassare oppure ogni volta ti scontri contro un muro di gomma.
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Re: Densità del massimo di un vettore aleatorio

Messaggioda tommik » 22/01/2020, 14:08

A questo punto vediamo anche l'ultima parte, così hai già i conti per confrontare i tuoi risultati.

Per calcolare la CDF, la strada più semplice è quella di valutare l'area del triangolino in cima.....tagliato alla base dalla retta $y=v$, con $v>2$

L'altezza del triangolo è, evidentemente; $h=3-v$

per calcolare la base occorre identificare i due punti sulle ascisse,

Il minore dei due, è l'intersezione fra la (semi)retta $y=v$ e $y=3x$

${{: ( y=v ),( y=3x ) :}rarrv=3x rarr x=v/3$

Il maggiore dei due è invece l'intersezione fra $y=v$ e $y=6-3x$

${{: ( y=v ),( y=6-3x ) :}rarrv=6-3x rarr x=(6-v)/3$


Quindi la base del triangolo viene (il punto maggiore meno quello minore): $(6-v)/3-v/3=2/3(3-v)$

in definitiva l'are del triangolino in testa viene $A=2/3(3-v)xx(3-v)xx1/2=(3-v)^2/3$

ora è immediato calcolare la CDF nell'ultimo tratto che ci interessa


$F=1/3[3-(3-v)^2/3]=1-(3-v)^2/9$

per $v>=3$ la CDF è uno

Riassumendo il tutto trovi che

$F_V(v)={{: ( 0 , ;v<0 ),(5/18v^2 , ;0<=v<3/2 ),( 5/18v^2-(4v-6)^2/18 , ;3/2<=v<2 ),( 1-(2(3-v)^2)/18 , ;2<=v<3 ),( 1 , ;v>=3) :}$

ho tenuto tutto in diciottesimi perché è più bello da vedere....prova a controllare, se i conti sono giusti la CDF deve essere continua (non deve presentare salti nei punti di cambiamento della funzione)

Infatti è giusta: eccone il grafico appena fatto
Immagine

SUGGERIMENTI per gli altri punti del problema:

Per calcolare la distribuzione del minimo, sulla stessa falsariga del presente esercizio, ti conviene (come sempre del resto) partire dalla definizione di Funzione di Sopravvivienza piuttosto che da quella di ripartizione. Potrebbe essere un buon esercizio calcolare la Funzione di ripartizione del minimo di due variabili $X,Y$ uniformi indipendenti entrambe definite su $[0;1]$. Anche se ti è già nota, prova a ricalcolarla con questo metodo grafico in modo da prenderci la mano....una volta capito bene il giochino lo fai con questo esercizio.

Per la distribuzione di max-min devi rifarti alla distribuzione della differenza in valore assoluto (ma te l'ho già detto più e più volte....)

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Se ti può confortare, la mia opinione è che un esercizio così è assurdo e non insegna nulla di Statistica...ma questa è una mia personale opinione, ovviamente


Detto ciò non ho altro da aggiungere a questo 3D

saluti
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Re: Densità del massimo di un vettore aleatorio

Messaggioda mobley » 23/01/2020, 11:20

Grazie tommik, avevo già capito che conveniva usare la complementare.
Una cosa però non capisco. Per calcolare la base del triangolo di dx che si formava relativamente all'intervallo $(3/2<v<=2)$ sottraevo da $v$ SOLO il valore di ascissa $2-v/3$ perchè (immagino, a questo punto…) l'altra parte ($v/3$) l'avevo già sottratta facendo $f(x,y)\cdot[$area quadrato di lato $v-$area triangolo sx$-$area triangolo dx$]$. Usando lo stesso principio la base del triangolino sarebbe dovuta essere
$(v-v/3)-(v-(2-v/3))=2/3v-2$

ovvero "maggiore meno minore".
Immagine
Perchè a te viene di segno contrario?
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Re: Densità del massimo di un vettore aleatorio

Messaggioda mobley » 30/01/2020, 09:01

Ok, nel frattempo sto provando a calcolare la distribuzione del minimo per l'esercizio 2.
Da quanto ho capito, nel calcolo della funzione di sopravvivenza $S_W(w)=1-\mathbb(P)(X>w,Y>w)$, mi serve determinare l'area della figura SPECULARE alla figura utilizzata nel calcolo della distribuzione del massimo.
Immagine
Nel caso del massimo, relativamente all'intervallo $(0<w<=1/2)$, ho calcolato l'area del quadrato, e la figura SPECULARE che si viene formando tracciando la retta $y=w$ è quella del triangolo evidenziato. Noto allora che…
- il quadrato evidenziato ha lato di lunghezza $w$;
- la retta (espressione del lato lungo del triangolo) passante per i punti $B=(0,1)$ e $C=(1,0)$ ha equazione $y=1-x$;
- il segmento $a$ vale $ { ( y=w ),( y=1-x ):}rArrx=1-w $
...il triangolo ha base $1-w-w=1-2w$, e quindi
$S_W(w)=1-f(x,y)\cdot[$area triangolo$]$ $=1-2[((1-2w)^2)/2]$

Ne seguirebbe che nell'intervallo considerato $s_w(w)=4-8w$.
1) E' giusto?
2) Se sì:
2.1) siccome per l'intervallo $(1/2<w<=1)$, relativamente alla distribuzione del massimo, calcolavamo l'area del pentagono come differenza tra l'area del triangolo totale meno due volte l'area del triangolino, la figura SPECULARE che si verrebbe formano sarebbe il triangolo posto interamente al di fuori del dominio: questo vorrebbe dire che in tale intervallo la funzione di sopravvivenza del minimo è nulla? Possibile?
2.2) come calcolo la funzione di sopravvivenza agli estremi?
mobley
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