Salve a tutti, durante gli studi abbiamo dimostrato svariati risultati nell'ambito dell'analisi con le cosiddette "dimostrazioni $\varepsilon$-$\delta$"; un "dettaglio" di queste dimostrazioni è che $\delta>0$ deve dipendere solo da $\varepsilon$ e da $x_0$, mai da $x$.
A caldo mi verrebbe da dire che, se esso dipendesse anche da $x$, essendo $x$ variabile lo sarebbe anche $\varepsilon$ e non è ciò che vogliamo; infatti vogliamo che, fissato $\varepsilon>0$, si esibisca un $\delta>0$ tale che, ad esempio per la continuità, se $0<|x-x_0|<\delta$ risulti $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$, ossia vogliamo che la stima di $|f(x)-f(x_0)|$ sia arbitraria e ciò non può avvenire se $\varepsilon$ è variabile.
Per caso è questo il motivo? O c'è qualcosa di più "profondo"?
Grazie per il vostro tempo!