Ma guarda un po' che roba!
Nel caso \(u(0)=0\), *formalmente*\(^{[1]}\), ogni \(\lambda\ne 0\) è un autovalore e \(u^{\frac1\lambda-1}\) è un autovettore. Infatti, sempre formalmente:
\[
\frac{1}{u(x)}\int_0^x u^{\frac1\lambda-1}(y) u'(y)\, dy = \frac{1}{u(x)}[\lambda u^{\frac1\lambda}(y)]_{y=0}^{y=x} = \lambda u^{\frac1\lambda-1}(x).\]
Solo che \(u^{\frac1\lambda-1}\) non è in \(C([0, 1])\) se \(\lvert\lambda\rvert >1\). Questo dimostra che tutto il disco unitario \(\{z\in \mathbb C\ |z|\le 1\}\), meno l'origine, è costituito da autovalori di \(T_u\).
Non so cosa succede fuori dal disco unitario, ma obnoxious ha scritto che se \(|z|>1\) allora \(z\) non è un valore spettrale. @obnoxious: Come hai fatto a dimostrarlo? Hai usato il fatto che \(\lVert T_u\rVert=1\)?
EDIT; ma certo, siccome la norma operatoriale \(\lVert T_u\rVert\) è 1, lo spettro deve essere contenuto in \(\{\lvert z \rvert\le 1\}\). Infatti, se \(\lvert \lambda \rvert>1\), allora \(T_u-\lambda I\) ammette l'inversa
\[
-\sum_{n=0}^\infty \lambda^{1-n}T_u^n.\]
CONCLUSIONE. Lo spettro di \(T_u\) è \(\{\lvert z \rvert \le 1\}\). Interessante osservare che, per ogni \(\epsilon>0\), lo spettro di \(T_{u+\epsilon}\) è \(\{0\}\). Uno si aspetterebbe che lo spettro sia, in qualche senso, una funzione continua della \(u\), ma è falso. Interessante.
P.S.: Una osservazione che vorrei registrare, l'operatore \(T_u\) può essere scritto nella forma
\[
T_u f(x)=\int_0^1 K(x, y)f(y)\, dy,\quad \text{ con }K(x, y)=\mathbf 1_{\{y\le x\}} \frac{u'(y)}{u(x)}.\]
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[1] In matematica, "formalmente" significa che chi scrive non si è preoccupato di controllare che quanto dice abbia senso. In particolare, io non mi sono preoccupato di controllare che quanto scritto sopra abbia senso.