Diagonalizzabilita' di una matrice 3x3 di rango 1

Messaggioda filocava99 » 24/01/2020, 15:00

Salve a tutti.
Mi sto scervellando su un esercizio di esame che chiede di verificare se una matrice 3x3 di rango 1 sia diagonalizzabile.
La matrice in questione e':

$ A=((2,2,2),(2,2,2),(2,2,2)) $

Ho dei problemi con le molteplicita' algebriche e geometriche degli autovalori.
Vi ringrazio in anticipo per il vostro aiuto
filocava99
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 1 di 3
Iscritto il: 24/01/2020, 14:54

Re: Diagonalizzabilita' di una matrice 3x3 di rango 1

Messaggioda Bokonon » 24/01/2020, 19:09

Benvenuto nel forum @filocava99
Prova a scrivere qualcosa, vediamo dove ti blocchi.
Imposta un ragionamento.
Avatar utente
Bokonon
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 1984 di 2086
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Diagonalizzabilita' di una matrice 3x3 di rango 1

Messaggioda ihategoto » 24/01/2020, 23:04

filocava99 ha scritto:Salve a tutti.
Mi sto scervellando su un esercizio di esame che chiede di verificare se una matrice 3x3 di rango 1 sia diagonalizzabile.
La matrice in questione e':

$ A=((2,2,2),(2,2,2),(2,2,2)) $

Ho dei problemi con le molteplicita' algebriche e geometriche degli autovalori.
Vi ringrazio in anticipo per il vostro aiuto

Ciao,
una curiosità: mai sentito parlare del teorema spettrale?
ihategoto
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 13 di 13
Iscritto il: 11/11/2019, 18:23

Re: Diagonalizzabilita' di una matrice 3x3 di rango 1

Messaggioda filocava99 » 25/01/2020, 10:39

Grazie per il benvenuto e per le rapide risposte :)
No non ho mai sentito parlare del teorema della spettralità.

Per prima cosa ho calcolato le radici del polinomio caratteristico della matrice e sono 0 e 6, entrambe con molteplicità algebrica 1. Cè un teorema, credo sia quello della diagonalizzabilita ma non sono sicuro(i nostri prof si divertono a cambiare i nomi...) che dice che se ho n autovalori distinti con molteplicità algebrica 1 allora la matrice è diagonalizzabile (n = rg A). Tuttavia il rango di A è 1, quindi non capisco come procedere. Inoltre la dimensione dell'autospazio di 6 mi viene un numero improbabile.
filocava99
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 2 di 3
Iscritto il: 24/01/2020, 14:54

Re: Diagonalizzabilita' di una matrice 3x3 di rango 1

Messaggioda filocava99 » 25/01/2020, 16:15

Ho risolto. Confondevo il fatto che rango e dimensione di una matrice sono due cose diverse. La matrice è chiaramente diagonalizzabile.
filocava99
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 3 di 3
Iscritto il: 24/01/2020, 14:54

Re: Diagonalizzabilita' di una matrice 3x3 di rango 1

Messaggioda Sergio » 25/01/2020, 20:58

filocava99 ha scritto:Grazie per il benvenuto e per le rapide risposte :)
No non ho mai sentito parlare del teorema della spettralità.

In breve, ti dice che ogni matrice simmetrica è diagonalizzabile.
Se ci dici che testo usi, magari possiamo aiutarti a trovarlo.

filocava99 ha scritto:Per prima cosa ho calcolato le radici del polinomio caratteristico della matrice e sono 0 e 6

Giusto.

filocava99 ha scritto:entrambe con molteplicità algebrica 1.

Sbagliato.
Tra l'altro, se fosse così la matrice non sarebbe diagonalizzabile (ma essendo simmetrica lo è). Infatti (breve ripasso) una matrice quadrata di ordine $n$ è diagonalizzabile se solo se:
a) la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è $n$ (e invece qui sarebbe $2<3$);
b) per ogni autovalore la molteplicità geometrica è uguale alla molteplicità algebrica.
La tua matrice ha polinomio caratteristico $\lambda^2(\lambda-6\)$, quindi $\lambda = 6$ è un autovalore di m.a. 1, ma $\lambda^2=0$ ha m.a. 2.

filocava99 ha scritto:Cè un teorema, credo sia quello della diagonalizzabilita ma non sono sicuro(i nostri prof si divertono a cambiare i nomi...) che dice che se ho n autovalori distinti con molteplicità algebrica 1 allora la matrice è diagonalizzabile (n = rg A).

Un bel po' di confusione. Vedi sopra.
Meglio: è vero che vanno bene $n$ autovalori distinti con m.a. 1, ma andrebbe bene anche un solo autovalore con m.a. $n$ (se ha anche m.g. $n$). Ma...

filocava99 ha scritto:Tuttavia il rango di A è 1, quindi non capisco come procedere.

Il rango non c'entra nulla, se non nel senso che è $1$ proprio perché l'autovalore $0$ ha molteplicità geometrica $2$.

filocava99 ha scritto:Inoltre la dimensione dell'autospazio di 6 mi viene un numero improbabile.

E cioè? Se ti viene $2$ è corretto, altrimenti sbagli qualcosa.

filocava99 ha scritto:Ho risolto. Confondevo il fatto che rango e dimensione di una matrice sono due cose diverse. La matrice è chiaramente diagonalizzabile.

Hai risolto come?
Se ce lo dici, magari possiamo aiutarti a dissipare un po' di confusione :)
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
Avatar utente
Sergio
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 6405 di 6548
Iscritto il: 26/04/2004, 10:56
Località: Roma


Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Aletzunny, j18eos, john_titor20 e 13 ospiti