Re: Applicazioni lineari

Messaggioda giuggiole » 23/01/2020, 12:03

Sia
\( f : R2[x] \rightarrow R2[x] \)
l’applicazione definita dalla posizione
\( ax^2+bx+c \rightarrow 2ax+\lambda \)
con a, b, c ∈ R e λ parametro reale.
Determinare per quali valori del parametro λ l’applicazione f è lineare ed ammette 3 come autovettore.

Se f è lineare deve essere che presi \( p(x) = ax^2+bx+c \) e \( p' (x)= a'x^2+b'x+c' \) :
\( f(p(x)+p'(x))= f(p(x))+f(p'(x)) \)
\( 2(a+a')x+\lambda = 2a'x+\lambda +2ax+\lambda \)
da cui avrò che \( \lambda = 0 \) .

Adesso se considero \( \lambda = 0 \) per vedere se 3 è autovettore considero:
\( f : R3\rightarrow R3 \)
\( (a,b,c)\rightarrow (0,2a,0) \) .
Quando considero la matrice associata al riferimento cartesiano A e vado a considerare \( |A-tIn|= -t^3 \) ma la \( mg(0) = 2 \) , quindi la funzione non è diagonalizzabile.
Cosa sbaglio e come faccio a dimostrare che 3 è autovettore?

Grazie dell'aiuto :D
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Re: Re: Applicazioni lineari

Messaggioda solaàl » 24/01/2020, 13:40

Probabilmente la risposta è "nessuno"?
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Re: Re: Applicazioni lineari

Messaggioda arnett » 24/01/2020, 14:07

Non è vero, $\lambda=0$ va bene, anche se non è stato dimostrato correttamente.

@giuggiole: hai solo dimostrato che se $f$ è lineare $\lambda=0$, ora devi fare vedere che se $\lambda=0$ allora $f$ è lineare.

Per la seconda richiesta: chi sono gli autovalori di $f$? Hai ben chiaro che ti chiede di mostrare che $3$ è autovettore e non autovalore di $f$? Cioè si intende $3=0x^2+0x+3$.
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Re: Re: Applicazioni lineari

Messaggioda giuggiole » 24/01/2020, 15:27

Se considero \( \lambda = 0 \) l'applicazione è lineare.
Sì, sul testo c'è scritto autovettore non autovalore
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Re: Re: Applicazioni lineari

Messaggioda arnett » 24/01/2020, 15:45

giuggiole ha scritto:Se considero \( \lambda = 0 \) l'applicazione è lineare.


Eh grazie, mostralo.
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Re: Re: Applicazioni lineari

Messaggioda giuggiole » 24/01/2020, 15:55

Se prendo
\( p(x) = ax^2+bx+c \) e \( p'(x) = a'x^2+b'x+c' \)
deve essere che
\( f(p(x))+f(p'(x))= f(p(x)+p'(x)) \)
\( 2ax+2a'x=2(a+a')x \) .
Devo dimostrare che è lineare rispetto al prodotto :
deve essere che con \( \alpha \in R \)
\( \alpha p(x)=p(\alpha x) \)
\( \alpha (2ax) = 2ax\alpha \)
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Re: Re: Applicazioni lineari

Messaggioda arnett » 24/01/2020, 16:14

Va bene, ora torniamo agli autovalori. Per verificare che $v$ è autovalore di $f$, devi verificare che valga $f(v)=\mu v$ per qualche $\mu$ scalare (e allora necessariamente $\mu$ è autovalore).

Ora: chi sono gli autovalori di $f$? Ci serve saperlo peché sono i possibili $\mu$ per cui devi verificare l'uguaglianza. E poi: quanto fa $f(3)$?
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Re: Re: Applicazioni lineari

Messaggioda giuggiole » 24/01/2020, 16:24

Posso considerare l'applicazione in questo modo?
\( f: R3\rightarrow R3 \)
\( (a,b,c)\rightarrow (0,2a,0) \)

Se faccio la coordinazione associata al riferimento naturale avrò
\( f(1,0,0)= (0,2,0) \)
\( f(0,1,0) = (0,0,0,) \)
\( f(0,0,1) =(0,0,0,) \)

Quindi come autovalore abbiamo 0?
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Re: Re: Applicazioni lineari

Messaggioda arnett » 24/01/2020, 16:53

Sì (perché?).

E ora verifica che $3$ sia autovettore.
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Re: Re: Applicazioni lineari

Messaggioda giuggiole » 24/01/2020, 17:04

Perchè avrò \( |A-tIn| = -t^3 \) con A la matrice associata al riferimento naturale.

Devo verificare che \( f(3) = 0 \) e lo è perchè avrò \( ax^2+bx+c \) dove \( a = b = 0 \) e \( c = 3 \) . L'immagine è \( 2ax \) quindi \( f(3) = 0 \) .

Grazie mille per l'aiuto :D
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