Esercizio prodotti scalari

[Pic143]

Salve avrei bisogno di una mano per questo esercizio.
Si consideri il prodotto scalare $ phi :R^3xx R^3->R $ dato da:
$ phi (X,Y)=X^tAY. A=( ( 2 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $

1) Verificare che $phi$ è definito positivo.
2) Stabilire se esiste una matrice $N$ tale che $N^t N=A$.

Il punto 1) l'ho svolto tranquillamente: ho trovato gli autovalori di A che risultano essere 1 e 3, entrambi positivi.
Mi servirebbe sapere come svolgere il punto due e il suo significato teorico.
Granzie in anticipo.

[Bokonon]

Iniziamo dal significato teorico. A è una matrice simmetrica pertanto il teorema spettrale ci garantisce che sia sempre diagonalizzabile (con autovalori reali) e sia sempre possibile trovare una base di autovettori ortonormale tale che $A=QLambdaQ^(-1)=QLambdaQ^(T)$ dove $Lambda$ è una matrice diagonale.

Come sai, se si prende una matrice N di dimensioni a piacere (mxn), allora $N^TN$ è una matrice simmetrica quindi gode non solo delle proprietà di cui sopra ma anche del fatto che sia sempre semidefinita/definita positiva.
La dimostrazione è facile. Preso un qualsiasi vettore x (diverso da quello nullo) allora una matrice $N^TN$ è semidefinita positiva se: $x^TN^TNx=(Nx)^TNx>=0$
Dato che $Nx$ è un vettore, la sua norma al quadrato è sempre positiva o uguale a zero nel caso x appartenga al kernel di N. C.V.D.
Questa proprietà è chiave per una decomposizione estremamente importante ovvero la SVD (singular values decomposition o decomposizione a valori singolari).

Come trovare N (e qua l'ho dedotto da me, visto che non uso libri).
Hai già dimostrato che A è definita positiva (quindi esiste un N che soddisfa i requisiti).
Quindi $det(A)>0$.
Quindi cerchiamo una matrice N di dimensioni (mx3) tale che $N^TN=A$ (che è appunto 3x3)
$det(N^TN)=det(A)>0$ e questo accade se e solo se $m>=3$: tradotto le colonne di N devono essere indipendenti e affinchè ciò accada devono essere composte da vettori di almeno 3 componenti.

$A=N^TN=QLambdaQ^(T) rArr Q^TN^TNQ=Lambda rArr (NQ)^TNQ=Lambda$
Ponendo $NQ=K$ abbiamo che $N=KQ^T$

E ora mi sono chiesto quale matrice K possa risolvere $K^TK=Lambda$.
La risposta è per $K=K^T$, quindi abbiamo $K^2=Lambda rArr K=Sigma$

Come scoprirai quando studierai la decomposizione SVD, $Sigma$ è la matrice diagionale dei valori singolari, che non sono altro che la radice quadrata degli autovalori.

Ora, non hai completato l'esercizio trovando anche $Q$. Quando l'avrai fatto, troverai K e di conseguenza N.
Una soluzione è $ N=( ( -1/sqrt(2) , 1/sqrt(2) , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( sqrt(3/2) , sqrt(3/2) , 0 ) ) $

[Pic143]

Mi servirebbe sapere come svolgere il punto due e il suo significato teorico.

In effetti il punto due è "strano" perché $A=N^TN$ è la scomposizione di Cholesky, legata alle scomposizioni LU e LDL, e anche alla SVD (v. sopra).
Possibile che non hai studiato nessuno di questi argomenti?

No in effetti non ho studiato nessuna di queste. Abbiamo fatto esclusivamente la riduzione di Gauss.

[Pic143]

Iniziamo dal significato teorico. A è una matrice simmetrica pertanto il teorema spettrale ci garantisce che sia sempre diagonalizzabile (con autovalori reali) e sia sempre possibile trovare una base di autovettori ortonormale tale che $A=QLambdaQ^(-1)=QLambdaQ^(T)$ dove $Lambda$ è una matrice diagonale.

Come sai, se si prende una matrice N di dimensioni a piacere (mxn), allora $N^TN$ è una matrice simmetrica quindi gode non solo delle proprietà di cui sopra ma anche del fatto che sia sempre semidefinita/definita positiva.
La dimostrazione è facile. Preso un qualsiasi vettore x (diverso da quello nullo) allora una matrice $N^TN$ è semidefinita positiva se: $x^TN^TNx=(Nx)^TNx>=0$
Dato che $Nx$ è un vettore, la sua norma al quadrato è sempre positiva o uguale a zero nel caso x appartenga al kernel di N. C.V.D.
Questa proprietà è chiave per una decomposizione estremamente importante ovvero la SVD (singular values decomposition o decomposizione a valori singolari).

Come trovare N (e qua l'ho dedotto da me, visto che non uso libri).
Hai già dimostrato che A è definita positiva (quindi esiste un N che soddisfa i requisiti).
Quindi $det(A)>0$.
Quindi cerchiamo una matrice N di dimensioni (mx3) tale che $N^TN=A$ (che è appunto 3x3)
$det(N^TN)=det(A)>0$ e questo accade se e solo se $m>=3$: tradotto le colonne di N devono essere indipendenti e affinchè ciò accada devono essere composte da vettori di almeno 3 componenti.

$A=N^TN=QLambdaQ^(T) rArr Q^TN^TNQ=Lambda rArr (NQ)^TNQ=Lambda$
Ponendo $NQ=K$ abbiamo che $N=KQ^T$

E ora mi sono chiesto quale matrice K possa risolvere $K^TK=Lambda$.
La risposta è per $K=K^T$, quindi abbiamo $K^2=Lambda rArr K=Sigma$

Come scoprirai quando studierai la decomposizione SVD, $Sigma$ è la matrice diagionale dei valori singolari, che non sono altro che la radice quadrata degli autovalori.

Ora, non hai completato l'esercizio trovando anche $Q$. Quando l'avrai fatto, troverai K e di conseguenza N.
Una soluzione è $ N=( ( -1/sqrt(2) , 1/sqrt(2) , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( sqrt(3/2) , sqrt(3/2) , 0 ) ) $

Grazie mille. L'esercizio chiede solo di stabilirne l'esistenza quindi non mi devo preoccupare di argomenti non trattati. La dimostrazione della sola esistenza è alla mia portata. Grazie ancora.

[Bokonon]

Prego